Sono dati il punto $P(-2 ; 1 ; 0)$ e il piano $\pi$ di equazione $x+y+z=3$. Determina:
a. l'equazione della superficie sferica passante per $P$ e tangente a $\pi$ nel punto $Q(0 ; 1 ; 2)$;
b. le equazioni parametriche della retta $r$ passante per $P$ e $Q$;
c. l'equazione cartesiana di un piano $\pi^{\prime}$ parallelo a $\pi$ e contenente il punto $R(-1 ; 1 ;-2)$.
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Livello 1
Il piano tangente alla sfera ha equazione:
x + y + z = 3 ed il punto Q(0,1,2) gli appartiene
La retta passante per Q e perpendicolare al piano ha equazioni parametriche:
{x = 0 + t
{y = 1 + t
{z = 2 + t
Quindi imponiamo l'equidistanza fra un suo generico punto:
[t, 1 + t, 2 + t]
ed i due punti dati: [-2, 1, 0] e [0, 1, 2]
eleviamo al quadrato tale relazione:
(-2 - t)^2 + (1 - (1 + t))^2 + (0 - (2 + t))^2 =
= (0 - t)^2 + (1 - (1 + t))^2 + (2 - (2 + t))^2 = r^2
essendo r^2 il quadrato del raggio della sfera cercata.
(t^2 + 4·t + 4) + t^2 + (t^2 + 4·t + 4) = t^2 + t^2 + t^2
3·t^2 + 8·t + 8 = t^2 + t^2 + t^2
3·t^2 + 8·t + 8 = 3·t^2
8·t + 8 = 0
t = -1
Abbiamo quindi il centro della sfera C ed il raggio:
[-1, 1 + -1, 2 + -1]-----> [-1, 0, 1] = C
r^2 = (-2 - (-1))^2 + (1 - (1 + (-1)))^2 + (0 - (2 + (-1)))^2
r^2 = 3
Equazione sfera:
(x + 1)^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 3
od anche:
x^2 + y^2 + z^2 + 2·x - 2·z - 1 = 0
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Genius II
