Data una generica ellisse $\gamma$ di equazione
$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \quad \operatorname{con} a>b,
$$
sia $F(-c ; 0)$ uno dei suoi fuochi. Detto $P$ un punto di $\gamma$ di ascissa $x$, dimostra che la distanza $d=\overline{P F}$ è espressa dalla funzione:
$$
d(x)=e x+a, \quad-a \leq x \leq a,
$$
dove $e$ è l'eccentricità dell'ellisse. Verifica che il grafico di $d(x)$ è un segmento della retta tangente a $\gamma$ nel punto $T$, di ascissa $x=-c$ e ordinata positiva.
40
punti
Livello 0
d^2 = (x + c)^2 + y^2
d^2 = x^2 + 2 cx + c^2 + y^2
ma y^2/b^2 = 1 - x^2/a^2
y^2 = b^2 - b^2/a^2 * x^2
d^2 = x^2 + 2 cx + c^2 + b^2 - b^2/a^2 x^2
d^2 = (1 - b^2/a^2) x^2 + 2 cx + a^2
d^2 = c^2/a^2 * x^2 + 2 a c/a x + a^2
d^2 = e^2 x^2 + 2 a e x + a^2
d^2 = (ex + a)^2
d = ex + a
Per la seconda parte devi dimostrare che la tangente in (-c, y*)
può essere scritta in quella forma
Ricavi y
c^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
y^2 = b^2 (1 - e^2)
y = b rad (1 - e^2)
e poi la metti nella formula dello sdoppiamento
- cx/a^2 + by rad(1 - e^2)/b^2 = 1
y/b rad(1 - e^2) = 1 + ex/a
moltiplicando per a
ay/b rad (1 - c^2/a^2) = a + ex
a/b * y * b/a = a + ex
e finalmente
y = ex + a
Però sarebbe meglio studiare un pò invece di proporre 10 esercizi
senza un tentativo di soluzione propria, anche sbagliata.
58339
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Livello 7
