Considera l'ellisse di equazione
$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \quad \text { con } a+b=20 .
$$
a. Scrivi l'espressione dell'area $A$ dell'ellisse in funzione di $a$. Individua che tipo di luogo geometrico descrive $A$ in funzione di $a$ e rappresentalo.
b. Determina l'equazione dell'ellisse che ha l'area uguale a $96 \pi cm ^2$. Interpreta il risultato in termini di proprietà del luogo descritto dall'area $A$.
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Livello 0
* Γ ≡ ((x/a)^2 + (y/b)^2 = 1) & (a + b = 20) ≡
≡ (b = 20 - a) & ((x/a)^2 + (y/(20 - a))^2 = 1)
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a1) A(a) = π*a*b = π*(20*a - a^2)
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a2) Parabola.
Vedi il paragrafo "Properties" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=plane+curve+y%3D%CF%80*%2820*x-x%5E2%29
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a3) Vedi il grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D%CF%80*%2820*x-x%5E2%29%5Dx%3D-1to21%2Cy%3D-1to315
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b1) Per ottenere
* A(a) = π*a*b = π*(20*a - a^2) = 96*π cm^2
occorre e basta che i semiassi siano, in centimetri, radici della u^2 - 20*u + 96 = 0, derivante dai vincoli
* (a*b = 96) & (a + b = 20)
cioè u = 10 ± 2 in {8, 12}; (a, b) = (8, 12) o viceversa.
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b2) Le due equazioni che soddisfanno alle condizioni sono
* Γ1 ≡ (x/8)^2 + (y/12)^2 = 1 cm^2
* Γ2 ≡ (x/12)^2 + (y/8)^2 = 1 cm^2
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x%2F8%29%5E2--%28y%2F12%29%5E2%3D1%2C%28x%2F12%29%5E2--%28y%2F8%29%5E2%3D1%5D
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b3) In termini di proprietà della parabola "A(a) = π*(20*a - a^2)", come viste sub a2, le soluzioni simmetriche trovate sub b1 esprimono la simmetria di A(a) attorno all'asse a = 10.
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