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Entrambi gli esercizi 215 e 216 chiedono l'equazione cartesiana di un'iperbole con assi di simmetria paralleli a quelli coordinati di cui sono date le posizioni dei fuochi (F1, F2) e una misura lineare; il 215 dà il "semiasse non trasverso" pari a tre; il 216 dà la "differenza delle distanze" da (F1, F2), cioè l'asse trasverso, pari a quattro.
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Ogni iperbole con assi di simmetria paralleli a quelli coordinati ha equazione
* Γ ≡ ((x - α)/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = ± 1
dove i parametri sono le lunghezze dei semiassi (a, b) e le coordinate del centro C(α, β).
Il doppio segno a secondo membro dipende dall'asse focale se è quello parallelo all'asse x o all'asse y
X) per F(α ± c, β): Γ ≡ ((x - α)/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = + 1
Y) per F(α, β ± c): Γ ≡ ((x - α)/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = - 1
dove la semidistanza focale è
* c = √(a^2 + b^2)
Nel caso X il semiasse trasverso è "a", nel caso Y è "b": in entrambi i casi dev'essere minore di "c" per ottenere un'iperbole non degenere.
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215) Dati
* F1(- 2, - 5), F2(- 2, 3) ≡ F(- 2, - 1 ± 4)
da cui
* caso Y: Γ ≡ ((x + 2)/a)^2 + ((y + 1)/b)^2 = - 1
* c = √(a^2 + b^2) = 4
* semiasse trasverso = b
* semiasse non trasverso = a = 3
quindi
* c = √(3^2 + b^2) = 4 ≡ b = √7
e infine
* Γ ≡ ((x + 2)/3)^2 + ((y + 1)/√7)^2 = - 1
che è proprio il risultato atteso.
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216) Dati
* F1(- 2, 2), F2(4, 2) ≡ F(1 ± 3, 2)
da cui
* caso X: Γ ≡ ((x - 1)/a)^2 + ((y - 2)/b)^2 = 1
* c = √(a^2 + b^2) = 3
* semiasse trasverso = a = 2 ("differenza delle distanze" = 2*a = 4)
* semiasse non trasverso = b
quindi
* c = √(2^2 + b^2) = 3 ≡ b = √5
e infine
* Γ ≡ Γ ≡ ((x - 1)/2)^2 + ((y - 2)/√5)^2 = 1
che è proprio il risultato atteso.