[Risolto] Massimi e minimi vincolati.

@sergix

Ciao innanzitutto il dominio delle soluzioni ammissibili:

Poi la funzione obiettivo che è una funzione lineare nelle due variabili x ed y.

Tale funzione risulta essere illimitata sia inferiormente che superiormente. Essendo il dominio delle soluzioni ammissibili un insieme chiuso e limitato, questo ci assicura, in base ad un noto teorema che la funzione z = y + x/3 definita in tale dominio ed ivi continua ammette sempre un minimo ed un massimo assoluto. Tale funzione può essere rappresentata egregiamente dalle sue linee di livello:

{z = y + x/3

{z = k

Tali linee sono tutte perpendicolari al vettore di massima pendenza aventi componenti [1/3, 1] cioè pari, o proporzionali ai coefficienti delle variabili d'azione x ed y (vedi F.O.)

Le linee di livello si ottengono per traslazione della linea passante per l'origine (vedi figura).

La prima linea di livello che tocca il dominio è sicuramente quella tangente in un punto alla frontiera definita dalla curva parabolica: in tale punto si avrà un minimo assoluto vincolato.

Mentre in tutti i punti della retta di frontiera ( perché l'ultima retta tangente coincide con la retta di frontiera) si avrà un massimo assoluto vincolato.

Minimo assoluto vincolato:

{y + x/3 = k

{y = (x - 1/2)^2

procedo per sostituzione:

(x - 1/2)^2 + x/3 = k------> x^2 - 2·x/3 - (4·k - 1)/4 = 0

Applico le condizioni di tangenza:

Δ = 0---->(- 2/3)^2 + (4·k - 1) = 0----> 4·k - 5/9 = 0

quindi il minimo vale: Zmin=k = 5/36

E si trova in corrispondenza :

x^2 - 2·x/3 - (4·(5/36) - 1)/4 = 0

x^2 - 2·x/3 + 1/9 = 0-----> (3·x - 1)^2/9 = 0

quindi per x = 1/3 ed y pari a:

y = (1/3 - 1/2)^2----> y = 1/36

quindi minimo in [1/3,1/36]

Trovare gli estremi di
* f(x, y) = z = y + x/3
su
* D = (x, y) ∈ R^2 | (x - 1/2)^2 <= y <= 1/4 - x/3}
cioè sul segmento parabolico fra il vertice V(1/2, 0) e la corda PQ, con
* P(0, 1/4), Q(2/3, 1/36)
* corda PQ ≡ (y = 1/4 - x/3) & (1/4 <= x <= 2/3)
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Dato l'andamento del piano, il minimo dev'essere sulla parete parabolica del cilindro retto che ha D per area di base
* (y = (x - 1/2)^2) & (z = y + x/3) ≡
≡ (y = (x - 1/2)^2) & (z = (x - 1/2)^2 + x/3 = (12*x^2 - 8*x + 3)/12)
e il minimo di z è nel vertice (1/3, 5/3) di
* z = 12*x^2 - 8*x + 3 = 12*(x - 1/3)^2 + 5/3
quindi
* y = (x - 1/2)^2 = (1/3 - 1/2)^2 = 1/36
da cui
* z = y + x/3 = 1/36 + (1/3)/3 = 5/36 MINIMO SULLA FRONTIERA
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In perfetta analogia si trova il massimo sulla corda PQ
* z <= f(1/4, 1/6) = 1/4 MASSIMO SULLA FRONTIERA