[Risolto] Gauss Green

A occhio il procedimento è corretto ... ma lo rifaccio per praticità di confronto.

La curva $\gamma$ è l'unione dell'arco di parabola e della retta, con parametrizzazioni rispettivamente:

$\gamma_1$=

{$x=t$

{$y=t^2-1$

con $1\leq t \leq 2$ e percorsa nel verso positivo e

$\gamma_2$=

{$x=t$

{$y=3t-3$

con $1\leq t \leq 2$, ma percorsa in senso negativo (quindi l'integrale andrà cambiato di segno).

Abbiamo dunque che:

$int_{\gamma} = \int_{\gamma_1} - \int_{\gamma_2}$

Considero i due integrali separatamente per il calcolo:

$\int_{\gamma_1} (x+y)dx -(x-y)dy = \int_1^2 [(t+t^2-1) - (t-t^2+1)2t] dt =$

$\int_1^2 (t+t^2-1 -2t^2+2t^3-2t) dt =$
$\int_1^2 (2t^3-t^2-t-1) dt =$
$[\frac{2t^4}{4}-\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}-t]_1^2 =$
$(8-\frac{8}{3}-2-2)-(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-1)= \frac{8}{3}$

Passiamo al secondo:

$\int_{\gamma_2} (x+y)dx -(x-y)dy = \int_1^2 [(t+3t-3) - (t-3t+3)3] dt =$

$\int_1^2 (t+3t-3-3t+9t-9)dt =$
$\int_1^2 (10t-12)dt=$
$[10\frac{t^2}{2}-12t]_1^2=$
$(20-24)-(5-12)=-4+7=3$

Quindi sommando il tutto:

$\int_{\gamma} (x+y)dx -(x-y)dy= \frac{8}{3} - 3 = -\frac{1}{3}$

Noemi