[Risolto] Equazioni differenziali.

* y'' + y = 3*cos(x)
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Si pone
* y = a*sin(x) + b*cos(x) + c*x*sin(x) + d*x*sin(x)
si deriva
* y' = ((c + d)*x + a)*cos(x) + (c + d - b)*sin(x)
* y'' = (2*(c + d) - b)*cos(x) - ((c + d)*x + a)*sin(x)
si addiziona e si eguaglia al secondo membro
* y'' + y = (2*(c + d) - b)*cos(x) - ((c + d)*x + a)*sin(x) + a*sin(x) + b*cos(x) + c*x*sin(x) + d*x*sin(x) =
= 2*(c + d)*cos(x) = 3*cos(x) ≡
≡ c + d = 3/2 ≡
≡ d = 3/2 - c
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* y = a*sin(x) + b*cos(x) + (3/2)*x*sin(x)
* y' = ((3/2)*x + a)*cos(x) + (3/2 - b)*sin(x)
* y'' = (2*(c + (3/2 - c)) - b)*cos(x) - ((c + (3/2 - c))*x + a)*sin(x)
* y'' + y = (3 - b)*cos(x) - ((3/2)*x + a)*sin(x) + a*sin(x) + b*cos(x) + c*x*sin(x) + (3/2 - c)*x*sin(x) =
= 3*cos(x)
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Essendo termini irrilevanti "a*sin(x) + b*cos(x)" la funzione risulta
* y = (3/2)*x*sin(x)

L'integrale generale dell'omogenea associata é

yo(x) = C1 cos x + C2 sin x

Quindi cercherai la soluzione particolare come

yp(x) = Ax cos x + Bx sin x

e svolgendo i noiosi ma semplici calcoli troverai

A = 0, B = 3/2

y(x) = C1 cos x + C2 sin x + 3/2 x sin x