[Risolto] Continuità derivabilità differenziabilità

Cominciamo col notare che il dominio della funzione definita per $(x,y)\neq (0,0)$ è:

$1+7x^3 >0$ per il logaritmo

da cui:

$x > \sqrt[3]{\frac{-1}{7}}$

Non è necessario chiedere che il denominatore sia non nullo, perché l'unico punto in cui potrebbe annullarsi è (0,0), in cui però la funzione è definita come 0.

 

Per studiare la continuità ci basta verificare solo che:

$lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x)=0$

Calcoliamo dunque il limite:

$lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{ln(1+7x^3)}{x^4+y^2}=\frac{[0]}{[0]}$

Abbiamo ottenuto una forma indeterminata. Ricordando il limite:

$ lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(1+x)}{x} = 1$

che nel caso specifico è:

$ lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(1+7x^3)}{7x^3} = 1$

Possiamo riscrivere il limite come:

$lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{7x^3}{x^4+y^2}$

Consideriamo la retta passante per (0,0) di generica equazione $y=mx$ e sostituiamo nel limite:

$lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{7x^3}{x^4+m^2x^2}$

Raccogliendo e semplificando la x:

$lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{7x^3}{x^2(x^2+m^2)} = lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{7x}{(x^2+m^2)} = \frac{0}{0+m^2} = 0$ $\forall m \in R$

Dato che il limite ha valore $0$, indipendente da m, la funzione è continua.

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Passiamo allo studio della differenziabilità.

Ti ricordo che se una funzione è differenziabile, allora ammette tutte le derivate direzionali. 

Per questo motivo salto momentaneamente lo studio dell'esistenza delle derivata direzionali, che tanto è assicurato se la funzione risulta differenziabile.

 

Affinché una funzione sia differenziabile dobbiamo verificare che:

1) Esistono le derivate parziali $f_x$ e $f_y$ nel punto $(x_0, y_0)$ (nel nostro caso in $(0,0)$)

2) $lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)} \frac{f(x_0+h, y_0+k)- f(x_0, y_0)- f_x(x_0,y_0)h - f_y(x_0,y_0)k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0$

 

Andiamo per ordine, vedendo se esiste la derivata parziale $f_x$ in (0,0).

Attenzione! Per farlo devi usare il limite del rapporto incrementale, non ti basta calcolare la derivata parziale e sostituire (0,0), perché la funzione $\frac{ln(1+7x^3)}{x^4+y^2}$ non è definita in (0,0). 

Calcoliamo dunque:

$lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = $

$lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{ln(1+7h^3)}{h^4+0}-0}{h} = $

$lim_{h\rightarrow 0} \frac{ln(1+7h^3)}{h^5} = $

$lim_{h\rightarrow 0} \frac{7h^3}{h^5} = $

$ lim_{h\rightarrow 0} \frac{7}{h^2} = \infty$

Il limite del rapporto incrementale non è finito, quindi la funzione non è derivabile parzialmente.

Dato che la funzione non è derivabile allora non è nemmeno differenziabile.

Dato che la funzione non è differenziabile, allora non ammette tutte le derivate direzionali.

 

Noemi