[Risolto] lunghezza della circonferenza

P = n * L;  (perimetro di un poligono con n lati uguali).

Guarda la  prima figura: Partiamo da un esagono inscritto, n = 6 lati.

a è l’angolo in O, (angolo al centro), del triangolino ABO;

a = 360° / 6= 60° per un esagono.

r è il raggio della circonferenza circoscritta al poligono;
r * sen(a/2) = L/2;     è la misura di metà lato (AH)

L = AH * 2 = 2 * r * sen(a/2);
L = 2r * sen(a/2)     è il lato del poligono  (AB).

Perimetro esagono = 6 * 2 r  * sen(a/2),

Se i lati sono n

a = 360°/n,    è l’angolo in O (al centro) del triangolino di base L.

a/2 = 360° /2n = 180° / n;

Il perimetro di un poligono di n lati è:

P = n * 2r * sen(360°/2n);

Facciamo il rapporto fra P e il diametro  2 r

P/2r = n * sen(180°/n),

Per n = 100, otteniamo:
P/2r = 100 * sen(180°/100) = 100 * sen(1,8°) = 3,14108..

Per n = 1000, otteniamo :
P/2r = 1000 * sen(0,18°)= 3,1416…

Per n = 4000, otteniamo
P/2r = 4000 * sen(0,045°) = 3,1415942… esatto fino alla quinta cifra decimale

se il numero di lati n tende all’infinito, P tende alla Circonferenza, infatti:

pigreco= C/2r = 3,1415927…..

C / 2r   = pigreco.

C = pigreco * 2 r

Ciao @boboclat

potresti essere più preciso per favore? Quali dati hai in ingresso?

in generale imposterei il calcolo usando il teorema della corda: 

$l=2Rsin(\beta/2)$ dove $\beta$ è l'angolo al centro che insiste sulla corda

quindi per un generico poligono il lato n-esimo vale:

$l=2Rsin(\pi/n)$

e quindi il perimetro è

$p=n*2Rsin(\pi/n)$

rimane da fare il limite per n tendente a infinito. Quindi si fa:

$\lim_{n\to\infty} 2R*n*sin(\pi/n)=2R*\lim_{n\to\infty} n*sin(\pi/n)$

io adesso cambierei variabile:

$\alpha=\pi/n$

$2R*\lim_{n\to\infty} n*sin(\pi/n)=2R*\lim_{\alpha\to 0} \pi*sin(\alpha)/\alpha$

il rapporto

$sin(\alpha)/\alpha$

tende ad 1 (limite notevole), quindi ti rimane $2R\pi$, ovvero la circonferenza

poligono inscritto in un cerchio di raggio unitario 

media tra poligono inscritto e quello circoscritto ad un cerchio di raggio unitario 

come si può notare la media tra perimetri inscritto e circoscritto approssima meglio il cerchio di quanto non faccia il solo poligono inscritto (per n = 360 , errore di 40*10^-6 contro 80*10^-6)

Il perimetro p(n) dell'n-agono regolare inscritto nel circumcerchio di raggio uno è
* p(n) = 2*n*sin(π/n)
quindi
* lim_(n → ∞) p(n) = 2*(lim_(n → ∞) n*sin(π/n))
la cui forma indeterminata "∞*0" si riporta alla"0/0" con
* lim_(n → ∞) n*sin(π/n) = lim_(n → ∞) sin(π/n)/(1/n)
e, da qui in poi, come al solito.