London Eye

@heelp

Ciao, benvenuto/a.

Mi riferisco ad una circonferenza che, per comodità la posiziono con il centro C sopra asse delle y.

I dati del problema impongono che si possano visualizzare sopra C un triangolo rettangolo così composto: CPR isoscele con angoli alla base PR pari a 30° ciascuno, ne consegue che l'angolo al vertice valga 120°; l'altro triangolo è equilatero con angoli interni di 60°.

Quindi con riferimento alla figura allegata scrivo:

quota di Rosa= EC+CA

120 = √3/2·r + r

120 = r·(√3/2 + 1) risolvo in r:

r = 480 - 240·√3

r = 64.3078 m

Applico Pitagora: PR^2= PS^2-RS^2, quindi:

PR^2=(2·r)^2 - r^2

(2·(480 - 240·√3))^2 - (480 - 240·√3)^2

1209600 - 691200·√3

√(1209600 - 691200·√3) = 480·√3 - 720

√(1209600 - 691200·√3) = 111.384 m

Allego il disegno della situazione oggettiva:

PRS rettangolo in R^ ( SR è diametro 2*r) per costruzione e simile ad HOR e HRS ( h' è altezza , mediana e  bisettrice  di ORS) {l'angolo RS^P = 60°=180° -30°  --->cateto RS = 2r * sen30° = r ---> cateto SH del simile HRS  = r*sen30° =r/2 ---> catetoRH= h' = r*cos30° =  ( r*sqrt3)/2}

{o} con Pitagora...

h' = sqrt(r²-(r/2)²) =( r*sqrt3)/2

essendo PRA equilatero ( angolo di 60°) PR = RA =2h'

RB = 120 = 2*h'+AB = h' + r =( r*sqrt3)/2 +r = r(1+sqrt3/2)

r = 120/(1+sqrt3/2) = ~ 64.3078... =~64.31 m

h' =( r*sqrt3)/2= 120*( sqrt3)/(2(1+sqrt3/2)) =(60 sqrt(3))/(1 + sqrt(3)/2) =~ 55.69219... =~55.7 m

PR = 2h' = 111.384... = ~ 111.4  m     ---> OK!

La spiegazione sta nello sketch in due soli passaggi !!

SALVANDO IL PROBLEMA GEOMETRICO DAL LAGO DI CHIACCHIERE IN CUI ANNASPA, si chiede la lunghezza del cateto maggiore (opposto a un angolo di 60°) di un triangolo PRS
* rettangolo in R,
* di ipotenusa PS (diametro del circumcerchio di raggio r = |PS|/2),
* di altezza h = |RH| relativa all'ipotenusa,
in base al dato che
* r + h = 120
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Ogni triangolo rettangolo con angoli acuti (30°, 60°) è metà di un triangolo equilatero di lato L e altezza (√3/2)*L rispettivamente pari all'ipotenusa e al cateto maggiore della sua metà mentre il cateto minore è metà dell'ipotenusa.
Pertanto, per il PRS in esame, si ha
* |RS| = r
* |PR| = (√3/2)*|PS| = (√3)*r
* h = |PR|*|RS|/|PS| = (√3)*r*r/(2*r) = (√3/2)*r
quindi
* r + h = 120 ≡ r + (√3/2)*r = 120 ≡ r = 240/(2 + √3)
* |PR| = (√3)*r = (√3)*240/(2 + √3) = 240*(2*√3 - 3) ~= 111.384 ~= 111.4 m