Dimostrazione di Geometria

@student

Ciao. Si parte dal principio che punti medi di archi e di corde associate ad essi siano fra loro in corrispondenza. Con riferimento quindi alla figura allegata dico quanto segue.

Al punto medio dell'arco AB, cioè M corrisponderà il punto medio sulla corda AB in I.

Al punto medio dell'arco BC, cioè N corrisponderà il punto medio sulla corda BC in J

Ma in una circonferenza le rette passanti dal centro O di tale circonferenza e dai punti medi di qualsiasi corda  sono, rispetto a tale corda, perpendicolari ad essa.

Ne consegue che OM è perpendicolare alla corda AB

e che ON è perpendicolare alla corda BC.

Quindi, i triangoli rettangoli (vedi figura) MEI e FJN sono simili perché hanno angoli acuti appartenenti ad un triangolo isoscele OMN e l'altro uguale perché complementare (vedi figura).

Ne consegue che il triangolo BEF sia isoscele perché gli angoli alla base FE sono uguali perché opposti al vertice di angoli uguali. Vedi quindi figura:

Pls : dimmi se ho inteso bene (ad un certo punto si passa dagli archi alle corde ....)

pare di si :

triangolo MON isoscele (OM ed ON entrambi raggi), quindi OM^N = ON^M

angoli MG^E ed NH^F entrambi retti per costruzione ed i relativi triangoli simili

angoli ME^G ed NF^H uguali 

angoli BE^F e BF^E uguali perché opposti al vertice degli angoli ME^G ed NF^H 

triangolo BEF isoscele  con vertice in B, pertanto BE = BF

Se i triangoli AOB e BOC sono equilateri (corda AB = corda BC = raggio), allora lo è anche il triangolo MON, in quanto :

# angolo MO^N pari a 60° per costruzione 

# triangolo MON isoscele avendo OM ed ON uguali perché entrambi raggi e, di conseguenza angoli OM^N ed ON^M parimenti uguali e di valore (180-60)/2 = 60° 

.....QED 

partiamo quindi dal suggerimento della traccia angolo in  M^ = N^ in quanto MON isoscele {OM ON  sono raggi come OA , OB e OC} .

sono {quindi} isosceli anche ABO e OBC e OG e OH sono le altezze relative alle basi AB e BC   {si parte osservando che OM e ON sono bisettrici in quanto suddividono a metà gli archi AB e BC e quindi OG e OH sono bisettrici, mediane e altezze dei relativi triangoli isosceli}; i triangoli rettangoli GEM e FHN sono, quindi, simili {hanno i tre angoli uguali 3° criterio} e hanno uguali gli angoli in E^ e in F^ e i loro opposti al vertice cosa {è isoscele  anche BEF} che dimostra la tesi {BE = BF}!

caso particolare

Se poi ABO e OBC sono equilateri, questo suppone la nuova ipotesi {corde coincidenti col raggio}, lo è anche MON , infatti gli archi MB e BN in quando sottendono angoli al centro uguali e di 30°  per cui l'angolo MO^N è di 60° come i due adiacenti a MN.

Caso particolare: se gli archi AB e BC sono tali per cui le corde AB e BC sono congruenti al raggio OC, di che natura è il triangolo MON?

Risposta: il triangolo è EQUILATERO

E come altro vorresti fare se non tracciando i due disegni? Con riga e compasso, ovviamente! I particolari devono essere esatti. Dopo aver tracciato i disegni vai a leggere il Regolamento del sito (link in alto a sinistra), poi guardando i disegni vedi di abbozzare la dimostrazione. Solo alla fine, e solo se non ci sei riuscita, aggiorna QUESTA domanda specificando che cosa hai fatto e che cosa t'ha fermato ed io aggiornerò questa risposta.