[Risolto] LIMITI, NELLE FORME INDETERMINATE, APPLICANDO HOPITAL

Forma indeterminata del tipo $\infty^0$

Riscriviamola in modo che sia coerente con le ipotesi di de l'Hôpital. Applichiamo l'identità logaritmica $e^{ln(x)} = x$

$ (x^2)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac {2ln(x)}{x}}$

Passando al limite

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{\frac {2ln(x)}{x}}$

L'esponenziale è una funzione continua

$ e^{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac {2ln(x)}{x}} $

Applichiamo de l'Hôpital

$ e^{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac {2}{x}} = e^0 = 1$

Il limite assegnato vale 1.

Problema:

Individui il seguente limite applicando il teorema di de l'Hôpital:

$\lim_{x \rightarrow +∞}((x²)^{\frac{1}{x}})$

Soluzione:

Per applicare il teorema di de l'Hôpital al limite dato è opportuno riscriverlo sottoforma di frazione.

$\lim_{x \rightarrow +∞}((x²)^{\frac{1}{x}})=\lim_{x \rightarrow +∞}(e^{\ln ((x²)^{\frac{1}{x}})} = e^{\lim_{x \rightarrow +∞}(\frac{\ln (x²)}{x})} = e^{\lim_{x \rightarrow +∞} (\frac{2}{x})}=e⁰=1$