11881
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Livello 2
Problema:
Si risolva il seguente limite applicando il teorema di de l'Hôpital:
$\lim_{x \rightarrow π} (\cos x+1)^{\sin x}$
Soluzione:
Per applicare il teorema di de l'Hôpital è opportuno riscrivere il limite sottoforma di frazione:
$\lim_{x \rightarrow π} (\cos x+1)^{\sin x}=e^{\lim_{x \rightarrow π} (\frac{\ln (\cos x+1)}{\sin x})}=e^{\lim_{x \rightarrow π} (\frac{\ln (\cos x+1)}{x})}=e^{\lim_{x \rightarrow π} (\frac{-\sin x}{\cos x +1})}=e^{\lim_{x \rightarrow π} (\frac{- x}{\cos x +1})}=e^{\lim_{x \rightarrow π} (\frac{1}{\sin x })}=e^0=1$
Nota:
È stata utilizzata la seguente tendenza asintotica dato che $\sin (π) = \sin (0)$:
$ε(x) \rightarrow 0$, $\sin (ε(x))$ ~ $ε(x)$
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Livello 6