Il centro della circonferenza inscritta è il punto di intersezione delle bisettrici.
Il raggio della circonferenza inscritta in ABC è $OH$ (vedi figura). Poiché $OB$ è bisettrice dell'angolo di ampiezza $x$ abbiamo che:
$ OH = BH \tan \frac{x}{2} = a\tan \frac{x}{2}$
Il raggio della circonferenza inscritta si può calcolare anche come:
$ r = \frac{2A}{p}$
dove $A$ è l'area e $p$ il perimetro.
Se $x$ è la misura degli angoli alla base, abbiamo che:
$ AH = BH \tan x = a \tan x$
e:
$ AB = \frac{a}{\cos x}$
L'area e il perimetro di AHC sono dunque:
$ A = \frac{a \cdot a \tan x}{2} = \frac{a^2}{2} \tan x$
$ p = a + \frac{a}{\cos x} + a\tan x$
dunque:
$r = \frac{2 \cdot \frac{a^2}{2} \tan x}{a + \frac{a}{\cos x} + a\tan x} = \frac{a\tan x}{1+\frac{1}{\cos x}+ \tan x}$
che è un'espressione analoga a quella riportata in soluzione.
Per ricondurci alla soluzione data dal libro possiamo fare qualche manipolazione algebrica. Ad esempio andiamo a moltiplicare e dividere così:
$ r = \frac{a\tan x}{1+\tan x+\frac{1}{\cos x}} \cdot \frac{1+\tan x-\frac{1}{\cos x}}{1+\tan x-\frac{1}{\cos x}$
così da avere:
$r= \frac{a\tan x (1+\tan x-\frac{1}{\cos x})}{(1+\tan x)^2-\frac{1}{cos^2 x}}$
e svolgendo il quadrato:
$r= \frac{a\tan x (1+\tan x-\frac{1}{\cos x})}{1+2\tan x+\tan^2x-\frac{1}{cos^2 x}}$
Ora ricordando che $1+\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ possiamo semplificare la frazione e avere:
$r= \frac{a\tan x (1+\tan x-\frac{1}{\cos x})}{2\tan x} = \frac{a}{2}(1+\tan x-\frac{1}{\cos x})$
Ora calcoliamo i vari limiti:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} a \tan \frac{x}{2} = 0$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{a}{2}(1+\tan x-\frac{1}{\cos x}) = 0$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{a\tan \frac{x}{2}}{\frac{a}{2}(1+\tan x-\frac{1}{\cos x})} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{a\frac{x}{2}}{\frac{a}{2}x}=1$
Per quest'ultimo ho usato il limite notevole $\frac{\tan x}{x} \rightarrow 1$ da cui $\tan x \approx x$ e $\tan \frac{x}{2} \approx \frac{x}{2}$
Invece in $\pi/2$ abbiamo:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} a \tan \frac{x}{2} = a$
e
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{a}{2}(1+\tan x-\frac{1}{\cos x})$
riscrivo come:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{a}{2}\frac{\cos x+ \sin x-1}{\cos x} =$
e applico De L'Hopital:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{a}{2}\frac{-\sin x+ \cos x}{-\sin x} = \frac{a}{2}$
Infine utilizzando i risultati precedenti abbiamo:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{a\tan \frac{x}{2}}{\frac{a}{2}(1+\tan x-\frac{1}{\cos x})} = \frac{a}{\frac{a}{2}} = 2$
Noemi
