[Risolto] Limiti e continuità

$E=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{|x|}{(x^2+R^2)^{3/2}}$

Nota che la funzione è pari, dunque il limite coincide a $\pm \infty$. Per comodità lo calcolo a $+\infty$:

$\displaystyle lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{|x|}{(x^2+R^2)^{3/2}}$

Asintoticamente abbiamo che $(x^2+R^2)^{3/2} \rightarrow (x^2)^{3/2} = x^3$ dunque:

$\displaystyle lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{|x|}{x^3}$

$\displaystyle lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{1}{x^2} = 0$

E' abbastanza ovvio che, allontanandosi dall'anello, il campo tenda ad annullarsi.

Dal grafico ricaviamo che:

- La funzione è pari, infatti spostandosi a destra o a sinistra dell'anello il campo è simmetrico

- Il campo è nullo in $x=0$ cioè al centro dell'anello. Infatti in questo punto i vari contributi dati dai pezzetti infinitesimi di anello si annullano tra loro per la simmetria circolare.

- Il campo cresce fino ad un punto di massimo e poi decresce. Questo dipende dal fatto che il campo, spostandosi ad una distanza $x$ dal centro dell'anello, ha una componente che si annulla, mentre l'altra che si somma (vedi figura). Fino ad un certo $x_{max}$ l'angolo $\theta$ aumenta, facendo aumentare la componente che si somma. Da un certo punto in poi la distanza prevale e dunque il campo diminuisce con la distanza.