[Risolto] Limiti e continuità

$E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left[1-\frac{|x|}{\sqrt{x^2+R^2}}\right]$

La funzione è pari per cui il limite è uguale a $\pm \infty$. Ne calcolo uno:

$\displaystyle lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left[1-\frac{|x|}{\sqrt{x^2+R^2}}\right]$

Asintoticamente si ha che $\sqrt{x^2+R^2}\rightarrow \sqrt{x^2} = |x|$, dunque:

$\displaystyle lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left[1-\frac{|x|}{|x|}\right]=0$

Ovviamente a distanza infinita, il campo è nullo.

Ora calcoliamo:

$\displaystyle lim_{R\rightarrow +\infty} \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left[1-\frac{|x|}{\sqrt{x^2+R^2}}\right]$

Anche qui usiamo l'approssimazione asintotica: $\sqrt{x^2+R^2}\rightarrow \sqrt{R^2} = R$ da cui:

$\displaystyle lim_{R\rightarrow +\infty} \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left[1-\frac{|x|}{R}\right] = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$

dato che $\frac{|x|}{R} \rightarrow 0$.

Infatti se il disco ha raggio infinitamente grande, lo si può pensare come un piano infinito.

Dal grafico:

- La funzione è pari, infatti spostandosi a sinistra o a destra del disco il campo è simmetrico

- La funzione tende a zero, infatti a grande distanza il suo effetto è nullo

- Il massimo del campo lo si ha sulla sua superficie ($x=0$)

- Man mano che ci si allontana, il campo diminuisce

Noemi