Continuità

I due tratti sono continui, per i teoremi algebrici di continuità. Rimane da verificare che lo sia anche nel punto di raccordo

• Continuità nel per x = 0

devono essere eguali tra loro

1. $ \displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{e^{kx}-1}{kx} \cdot \frac{k}{2} = \frac{k}{2} $
2. $ f(0) = \frac{-3}{1} $

Uguagliando i due risultati si ottiene k = -6

• Asintoto orizzontale destro di equazione y = 2

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{hx^2+3}{4x^2-1} = \frac{h}{4}$

Imponiamo sia eguale a 2 per cui h = 8

Grafico

https://www.desmos.com/calculator/feb2cw1dei

Altri asintoti. 

• Dominio tratto sinistro (-∞, 0) 
  • Nessuna discontinuità sappiamo che la funzione è continua per x = 0
• Dominio tratto destro [0, +∞)
  • Discontinuità per x = 1/2

• Verifichiamo se trattasi di un asintoto verticale
  • $ \displaystyle\lim_{x \to (\frac{3}{2})^-} f(x) = -\infty $
  • $ \displaystyle\lim_{x \to (\frac{3}{2})^+} f(x) = +\infty $
  • Si tratta di un asintoto verticale di equazione x = 3/2