Limiti

$ \frac{x^2-5x+6}{x-k} = \frac{(x-2)(x-3)}{x-k} $

a. Limite finito.

Il trinomio al numeratore ha grado eguale a 2

Il denominatore ha grado eguale a 1

Per aver grado finito è necessaria una discontinuità eliminabile, così semplificando, si avrà un limite finito. Le discontinuità eliminabili si hanno per x = 2 oppure per x = 3.

per esempio se k = 2 si avrà

$ \displaystyle\lim_{x \to 2^+} \frac{(x-2)(x-3)}{x-2}  = -1 $

b. c. Per essere ∞ è necessario che il denominatore di annulli ma non si possa semplificare con il numeratore, quindi con k ≠ 2 oppure k ≠ 3. Per discriminare il segno farò riferimento alla griglia.

__________2________3________

++++++++0-----------0++++++    x²-5x+6

-------------------k++++++++++     x-k

--------------0++k------0++++++     f(x)

Se k∈(2, 3) il limite destro è negativo quindi divergerà a -∞. 

Questa è la risposta alla domanda c.

Vediamo l'altro caso

__________2________3________

++++++++0-----------0++++++    x²-5x+6

---------k++++++++++++++++     x-k

---------k++0-----------0++++++     f(x)

 Se k < 2 allora il limite destro è positivo quindi divergerà a +∞

Analogamente si procede per x > 3 ottenendo gli stessi risultati del caso precedente.

Conclusioni. 

i) limite finito per k = 2 oppure per k = 3

ii) limite che diverge a +∞ per k < 2 oppure k > 3

iii) limite che diverge a -∞ per k  t. c. 2 < k < 3