Limiti e continuità

a)

Se k é diverso da 0 allora in entrambe le equazioni y = 0

risulta AC < 0 e quindi DELTA > 0

inoltre

D1 = 0^2 - 4(-k) * 9k = 36 k^2

D2 = 4^2 - 4(k)*(-k) = 16 + 4k^2

Per la Formula di Francesco le due aree saranno

Sp1 = sqrt(D1^3)/(6A1^2) = 216 |k^3|/(6 k^2) = 36 |k|

Sp2 = sqrt(D2^3)/(6A2^2) = (4k^2 + 16)^(3/2) /(6k^2)

il rapporto é u = Sp1/Sp2 = 216 k^2|k|/(4k^2 + 16)^(3/2)

Per calcolare il limite richiesto

osserviamo che |k| = k in un intorno di +oo

16 diventa trascurabile rispetto a k^2

e quindi abbiamo il limite di 216 k^3/(4k^2)^(3/2)) = 216/8 k^3/k^3 =

= 27.

b) xa1 = - B1/(2A1) = 0

xa2 = -B2/(2A2) = 4/(2k)

d(k) = |xa2 - xa1| = 2/|k|

d(k) = 4

2/|k| = 4

|k| = 2/4 = 1/2

k = -1/2 V k = 1/2

k+ = 1/2

Allora le due parabole hanno le seguenti equazioni con il grafico illustrato.

y = -1/2 x^2 + 9/2

y = 1/2 x^2 - 4x - 1/2

https://www.desmos.com/calculator/4xdcbwnacm

Se non é permesso usare gli integrali, devi

trovare i due punti di interasezione

la retta che passa per questi due punti

calcolare le aree di due segmenti parabolici obliqui

e infine prendere la somma. Questo lo farò più tardi.

y = -1/2 x^2 + 9/2

y = 1/2 x^2 - 4x - 1/2

Sottraendo

x^2 - 4x - 5 = 0

x^2 - 5x + x - 5 = 0

x(x - 5) + (x - 5) = 0

(x - 5) (x + 1) = 0

x = 1 V x = 5

xA = -1 => yA = 9/2 - 1/2 = 4

A =(-1,4)

xB = 5 => yB = 9/2 - 25/2 = -8

B = (5, -8)

mAB = (-8-4)/(5+1) = -12/6= -2

y - 4 = -2(x + 1)

y = 4 - 2x - 2

y = -2x + 2

Confronti parabola - retta

la prima

- 1/2 x^2 + 9/2 = -2x + 2

risolvente originaria

1/2 x^2 - 2x - 5/2 = 0

D = 4 - 4*1/2 *(-5/2) = 9

Così l'area superiore é

Sp1 = sqrt(9^3)/(6/4) = 27 : 3/2 = 18

la seconda

1/2 x^2 - 4x - 1/2 = -2x + 2

1/2 x^2 -2x - 5/2 = 0

la risolvente nativa é la stessa

anche l'area é quindi uguale

Sp2 = 18

e S = Sp1 + Sp2 = 18 + 18 = 36.

https://www.desmos.com/calculator/91zutnu6uq

https://www.sosmatematica.it/contenuti/segmento-parabolico/