[Risolto] Grafici di funzioni

i) La funzione

$ y(x) = \frac{1}{1-ln(sinx)}$

Dominio = 

• • ln(sinx) ⇒ sinx > 0  ⇒  2kπ < x  < π + 2kπ; con k∈ℤ
  • /(1-ln(sinx)) ≠ 0 ⇒ ln(sinx) ≠ 1 ⇒ sin x ≠ e. Vera  ∀x∈ℝ
• Dominio = 2kπ < x  < π + 2kπ; con k∈ℤ
  • la funzione è periodica di periodo 2π
  • Punti di discontinuità; x = 0 + 2kπ e x = π + 2kπ

• Asintoti verticali. Essendo periodica non ammette ne asintoti orizzontali ne obliqui
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} y(x) = 0$
  • $ \displaystyle\lim_{x \to {\pi}^+} y(x) = 0$
  • Nessun asintoto verticale

• Segno
  • Osserviamo che ln(sinx) è negativo per ogni x del Dominio, quindi f(x) > 0.

ii) Derivata prima

$ y'(x) = \frac{cos x} {sinx ( 1-ln(sin x))^2} $

• Punti stazionari. y'(x) = 0   ⇒  x = π/2 + 2kπ
• Segno derivata prima

0________π/2_________π

+++++++0---------------       cosx

(+++++++++++++++)      sinx ( 1-ln(sin x))²

(++++++0--------------)       y'(x)

.....↗.......=.......↘........         y(x)

Si ha un massimo relativo (e assoluto) in x =  π/2 + 2kπ

Il valore del massimo y(π/2) = 1/(1+0) = 1

Coordinate dei massimi M(π/2 + 2kπ, 1)

Grafico

https://www.desmos.com/calculator/olqecwy7xy