Limiti e continuità

Parabola 1

y = a·x^2 + b·x

(c=0 perché passa per l'origine)

{-3 = a·3^2 + b·3  passa da [3, -3]

{-4 = a·2^2 + b·2  passa dal vertice [2, -4]

Quindi risolvo:

{9·a + 3·b = -3

{4·a + 2·b = -4

ed ottengo:[a = 1 ∧ b = -4]

parabola:  y = x^2 - 4·x

Parabola 2

y = a·x^2 + b·x + c

{-3 = a·3^2 + b·3 + c  passa da [3, -3]

{1 = a·1^2 + b·1 + c  passa da [1, 1]

{- b/(2·a) = 1 asse della parabola 

Risolvo:

{9·a + 3·b + c = -3

{a + b + c = 1

{b/a = -2

ottengo:[a = -1 ∧ b = 2 ∧ c = 0]

parabola: y = - x^2 + 2·x

Segmento EF

ΕF = (- x^2 + 2·x) - (x^2 - 4·x) = 6·x - 2·x^2

Risolvo la parabola : y = - x^2 + 2·x rispetto ad x

x = 1 - √(1 - y) ∨ x = √(1 - y) + 1

Lo stesso con la parabola:

y = x^2 - 4·x

x = 2 - √(y + 4) ∨ x = √(y + 4) + 2

Per i punti C e D di figura servono le funzioni in scritte in grassetto

per cui si ha:

2 - √(y + 4) - (1 - √(1 - y)) = √(1 - y) - √(y + 4) + 1

Tenendo conto che il punto P si trova sul segmento OA di figura per cui si ha chiaranmente

P [x,-x] il limite richiesto è:

LIM((6·x - 2·x^2)/(√(1 +x) - √(-x + 4) + 1))

x---> 0+

LIM((6·x - 2·x^2)/(- √(4 - x) + √(x + 1) + 1)) = 8

x----> 0+