Salve, qualcuno mi può aiutare a capire perché al denominatore ci si trova x^2+o(x^3)?? Non ho capito solamente questa parte, quali sono i passaggi? viene applicata la formula del sen^2x?? Sono confuso.
Grazie mille
Calcolare: $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2}\left(\frac{\operatorname{sen} x}{x}-\frac{x}{\operatorname{sen} x}\right) $$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2}\left(\frac{\operatorname{sen}^2 x-x^2}{x \operatorname{sen} x}\right)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2}\left(\frac{x^2-\frac{x^4}{3}+o\left(x^5\right)-x^2}{x^2+o\left(x^3\right)}\right)=-\frac{1}{3}$
ho utilizzato la formula di $\operatorname{sen}^2 x$.
Verificare che
$$
\operatorname{sen}^2 x=x^2-\frac{x^4}{3}+o\left(x^5\right)
$$
Utilizziamo la formula del senx:
$$
\begin{aligned}
\operatorname{sen}^2 x=\left(x-\frac{x^3}{6}\right. & \left.+o\left(x^4\right)\right)^2=x^2+\frac{x^6}{36}+\left[o\left(x^4\right)\right]^2-\frac{x^4}{3}+ \\
& +2 x \cdot o\left(x^4\right)-\frac{x^3}{3} o\left(x^4\right)
\end{aligned}
$$
Per $x \rightarrow 0$ sono infinitesimi di ordine superiore a $x^5$, cioè $o\left(x^5\right)$ i seguenti addendi:
$$
\begin{array}{c}
\frac{x^6}{36},\left[o\left(x^4\right)\right]^2, 2 x \cdot o\left(x^4\right),-\frac{x^3}{3} \cdot o\left(x^4\right) \\
\text { perciò } \operatorname{sen}^2 x=x^2-\frac{x^4}{3}+o\left(x^5\right)
\end{array}
$$
Nella seconda immagine la formula del sen^2x a cui si riferisce.
