Espansione in serie di Taylor

Due obiezioni terminologiche (parlare di matematica esige precisione!)
1) Espansione??? Secondo te la funzione
* f(x) = y = ln(sin(x)/x)
è forse un fiume di merda in una fogna ad alta pendenza che abbia bisogno di espandersi nelle apposite vasche per prevenire turbolenze e schizzi alla fine della condotta?
Le funzioni non merdose si sviluppano, mica si espandono!
2) La serie di Taylor intorno al punto x = 0 si chiama serie di Maclaurin.
(non farti ingannare da chi scrive Mc Laurin o Mac Laurin: il chiarissimo professor Cailean MacLabhruinn decise lui stesso di anglicizzare il suo nome in Colin Maclaurin, con elleminuscola tutt'attaccata)
Il lato teorico dello sviluppo in serie di Maclaurin
* f(x) = y = Σ [k = 0, ∞] (x^k/k!)*((d^k/dx^k f(x))|0) =
= f(0) + (x/1)*(Df(x)|0) + (x^2/2)*(DDf(x)|0) + (x^3/3!)*(DDDf(x)|0) + RestoDiQualcuno infinitesimo di ordine superiore
Per non commettere sempre errori una volta ai calcoli
1) Predisporre la tavola delle prime derivate coi loro valori nell'origine e i termini dello sviluppo
* f(x) = y = ln(sin(x)/x); f(0) = 0, come limite di forma indeterminata.
* Df(x) = cot(x) - 1/x; Df(x)|0 = 0, come limite.
* DDf(x) = d/dx 1/x^2 - csc^2(x); DDf(x)|0 = - 1/3, come limite; (x^2/2)*(DDf(x)|0) = - x^2/6
... e così via fino a, per esempio,
* f(x) = - x^2/6 - x^4/180 - x^6/2835 + O(x^8)
da cui il polinomio approssimante
* p(x) = - ((4*x^2 + 63)*x^2 + 1890)*x^2/11340
2) Valutare l'accuratezza dell'approssimazione agli estremi dell'intervallo
Ammesso che p(x) occorra per valutazioni di f(x) in ascisse x di modulo non superiore a 1/2 si ha
* p(± 1/2) = - 953/22680 ~= - 0.04201940035273369
* f(± 1/2) = ln(2*sin(1/2)) ~= - 0.04201950582536895
da cui si vede che i due valori hanno in comune la parte più significativa "0.042019" con un errore inferiore a una parte su un milione. Se tale precisione è sufficiente allo scopo allora lo sviluppo è completo; se no, si torna al punto uno allungando la tavola di un paio di righe e poi si rivaluta la nuova precisione.

Serie di Taylor dell'argomento del log.

• $sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +o(x^7)$
• $\frac {sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} +o(x^6)$

Serie di Taylor del log.

• $log(1+x) = x - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} - \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} + o(x^6)$

Consideriamo come x nello sviluppo del log il termine

$- \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} +o(x^6)$

per cui lo sviluppo della funzione data diventa

$log(\frac {sinx}{x}) = - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} - \frac{1}{2} [- \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!}]^2 + \frac{1}{3} [- \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!}]^3 + o(x^6)$

Sviluppando le potenze e cestinando i termini di infinitesimo superiore a x^6 avremo

$log(\frac {sinx}{x}) = - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} -  \frac{x^4}{72} + \frac {x^6}{720} - \frac {x^6}{648} + o(x^6)$

ovvero

$log(\frac {sinx}{x}) = - \frac{x^2}{6} - \frac{x^4}{180} - \frac{x^6}{2835} +o(x^6)$

Sviluppando in serie di Taylor-Maclaurin

\[\sin{x} \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + o(x^9)\]

\[\frac{\sin{x}}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + o(x^8)\,.\]

Allora

\[\log{\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)} = \log{(1 + \phi)} \mid \phi = \left(\frac{\sin{x}}{x} - 1\right) \implies\]

\[\log{\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)} \approx -\frac{x^2}{6} - \frac{x^4}{180} - \frac{x^6}{648} + o(x^6)\,.\]