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Espansione in serie di Taylor

  

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Qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi passo per passo come sviluppare una funzione in serie di potenze prendendo in esame la funzione ln(sinx/x) a x=0?

Ho ben presente il lato teorico dello sviluppo di Taylor ma ogni volta ai calcoli commetto sempre errori.

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Due obiezioni terminologiche (parlare di matematica esige precisione!)
1) Espansione??? Secondo te la funzione
* f(x) = y = ln(sin(x)/x)
è forse un fiume di merda in una fogna ad alta pendenza che abbia bisogno di espandersi nelle apposite vasche per prevenire turbolenze e schizzi alla fine della condotta?
Le funzioni non merdose si sviluppano, mica si espandono!
2) La serie di Taylor intorno al punto x = 0 si chiama serie di Maclaurin.
(non farti ingannare da chi scrive Mc Laurin o Mac Laurin: il chiarissimo professor Cailean MacLabhruinn decise lui stesso di anglicizzare il suo nome in Colin Maclaurin, con elleminuscola tutt'attaccata)
Il lato teorico dello sviluppo in serie di Maclaurin
* f(x) = y = Σ [k = 0, ∞] (x^k/k!)*((d^k/dx^k f(x))|0) =
= f(0) + (x/1)*(Df(x)|0) + (x^2/2)*(DDf(x)|0) + (x^3/3!)*(DDDf(x)|0) + RestoDiQualcuno infinitesimo di ordine superiore
Per non commettere sempre errori una volta ai calcoli
1) Predisporre la tavola delle prime derivate coi loro valori nell'origine e i termini dello sviluppo
* f(x) = y = ln(sin(x)/x); f(0) = 0, come limite di forma indeterminata.
* Df(x) = cot(x) - 1/x; Df(x)|0 = 0, come limite.
* DDf(x) = d/dx 1/x^2 - csc^2(x); DDf(x)|0 = - 1/3, come limite; (x^2/2)*(DDf(x)|0) = - x^2/6
... e così via fino a, per esempio,
* f(x) = - x^2/6 - x^4/180 - x^6/2835 + O(x^8)
da cui il polinomio approssimante
* p(x) = - ((4*x^2 + 63)*x^2 + 1890)*x^2/11340
2) Valutare l'accuratezza dell'approssimazione agli estremi dell'intervallo
Ammesso che p(x) occorra per valutazioni di f(x) in ascisse x di modulo non superiore a 1/2 si ha
* p(± 1/2) = - 953/22680 ~= - 0.04201940035273369
* f(± 1/2) = ln(2*sin(1/2)) ~= - 0.04201950582536895
da cui si vede che i due valori hanno in comune la parte più significativa "0.042019" con un errore inferiore a una parte su un milione. Se tale precisione è sufficiente allo scopo allora lo sviluppo è completo; se no, si torna al punto uno allungando la tavola di un paio di righe e poi si rivaluta la nuova precisione.

@exprof  di fronte ad una normale richiesta, seppure il termine (peraltro solo nel titolo!) non sia quello canonico, non capisco il motivo di esprimersi con parole volgari, che vedo totalmente gratuite, sorte dal niente.
Esprimo la mia solidarietà al malcapitato di turno

@Giuseppe_Criscuolo
Sul non capire il motivo pensavo d'averti già illustrato il mio punto di vista a fine febbraio al link
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/183893/
dandoti quattro riferimenti ad altri interventi dove m'ero spiegato, penso, con chiarezza.
Sulla volgarità del lessico ho due osservazioni.
1) Si parva licet, ho imitato l'inventore dell'italiano (Inferno, XVIII - 116 e 131) usando apposta il concetto "merda" per fare impressione.
2) Quand'ero a San Pietro in Vincoli (a cavallo fra gli anni '50 e '60) l'esame di Idraulica Generale era comunemente chiamato Merdodinamica anche da professori di alta dignità (un senatore della Repubblica, un presidente del neonato ENEL, ...).



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Serie di Taylor dell'argomento del log.

  • $sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +o(x^7)$
  • $\frac {sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} +o(x^6)$

Serie di Taylor del log.

  • $log(1+x) = x - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} - \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} + o(x^6)$

Consideriamo come x nello sviluppo del log il termine

$- \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} +o(x^6)$

per cui lo sviluppo della funzione data diventa

$log(\frac {sinx}{x}) = - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} - \frac{1}{2} [- \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!}]^2 + \frac{1}{3} [- \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!}]^3 + o(x^6)$

Sviluppando le potenze e cestinando i termini di infinitesimo superiore a x^6 avremo

$log(\frac {sinx}{x}) = - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} -  \frac{x^4}{72} + \frac {x^6}{720} - \frac {x^6}{648} + o(x^6)$

ovvero

$log(\frac {sinx}{x}) = - \frac{x^2}{6} - \frac{x^4}{180} - \frac{x^6}{2835} +o(x^6)$



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Sviluppando in serie di Taylor-Maclaurin

\[\sin{x} \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + o(x^9)\]

\[\frac{\sin{x}}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + o(x^8)\,.\]

Allora

\[\log{\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)} = \log{(1 + \phi)} \mid \phi = \left(\frac{\sin{x}}{x} - 1\right) \implies\]

\[\log{\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)} \approx -\frac{x^2}{6} - \frac{x^4}{180} - \frac{x^6}{648} + o(x^6)\,.\]



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