[Risolto] Limiti

E' una forma indeterminata del tipo 1^oo.

Per poterla sbrogliare osserviamo che essendo lim_x->0 sin(x)/x = 1

sin x in un intorno di 0 si comporta come x e cos x ~ sqrt(1 - x^2)

Otteniamo quindi

lim_x->0 (1 - x)^(sqrt(1-x^2)/x)

che é ancora indeterminato. Posto u = 1/x

si deduce la forma equivalente

lim_u->oo (1 - 1/u)^(u * sqrt (1 - 1/u^2)) =

= lim_u->oo (1 - 1/u)^(sqrt (u^2 -1))

e trascurando 1 nella somma sotto radice perché non tende all'infinito

lim_u->oo (1 - 1/u)^|u|

Se facciamo il limite a destra

x->0+ => u ->+oo

allora lim_u->+oo (1 - 1/u)^u = e^(-1) = 1/e

a sinistra invece

lim_|x|->0 (1 + |x|)^(-1/|x|) é ancora 1/e

 

WIMS conferma