Limiti

Per il regolamento SOS Matematica è doveroso richiedere un solo quesito per volta.

Problema:

Si individui il valore del seguente limite $\lim_{x \to +\infty} 3x \log(x)$.

Soluzione:

Si nota subito che entrambe le funzioni divergono positivamente per $x \to +\infty$,  quindi si può concludere che il limite della funzione data diverge positivamente.

(Se sei uno studente universitario leggi anche quanto segue, all'esame ciò potrebbe darti punti in più)

Si nota inoltre che $\frac{x\log x}{x} = \log x \to +\infty$, quindi $x \log x$  cresce più rapidamente di $x$; mentre $\frac{x\log x}{x^2} = \frac{\log x}{x} \to 0$, il che implica che $x\log x$ cresce più lentamente di $x^2$.

Se ne deduce quindi che $3x\log x$ ha ordine di infinito intermedio tra $x$ e $x^2$:

Ciò implica che il limite $\lim_{x \to +\infty} 3x\log x$ diverge a $+\infty$, con ordine di crescita superiore a quello lineare ma inferiore a quello quadratico.

i. 

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} 3x \cdot logx  = +\infty \cdot +\infty = +\infty $    Non è una forma indeterminata.

j. 

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty}x - logx = +\infty $   Per confronto di ordine di infinito.  $x \gg logx $

k. 

$ \displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (cos^2x)(sinx) = 0 \cdot 1 = 0 $   Coseno e seno sono funzioni continue.