Buonasera
mi serve una mano per l'esercizio 71 che mi chiede di trovare la derivata in un generico punto x con la definizione
Buonasera
mi serve una mano per l'esercizio 71 che mi chiede di trovare la derivata in un generico punto x con la definizione
197
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Livello 1
58339
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Livello 7
1. Rapporto incrementale centrato nel generico punto x
$ \frac {Δf(x+h)}{h} = \frac{(x-1+h)e^{x+h} - (x-1)e^x}{h} $
$= e^x \frac{(x-1+h)e^h - (x-1)}{h} $
$= e^x \frac{(x-1)e^h +he^h - (x-1)}{h} $
$= e^x \frac{(x-1)e^h +he^h - (x-1)}{h} $
$= e^x \frac{(x-1)(e^h-1) +he^h} {h} $
passiamo al limite per h → 0. nota il termine $e^x$ va trattato come se fosse una costante; non dipende da h.
$ f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac {Δf(x+h)}{h}$
$= e^x \cdot \left[ \displaystyle\lim_{h \to 0} (x-1)\frac{e^h - 1}{h} + \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{he^h}{h} \right] $
$= e^x [(x-1) \cdot 1 + 1] $
$= x \, e^x $
21742
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Livello 6