Derivabilita' e continuita'

1. Rappresentiamo il grafico della funzione.

https://www.desmos.com/calculator/nxzffy3hqw

a.

dal quale si deduce che:

• nel punto (-1,2) la funzione è continua
• per x = 1 la funzione presenta una discontinuità di 1° tipo.

dimostriamolo.

La funzione ristretta ai punti interni dei singoli tratti è sicuramente continua (funzioni costanti e polinomiale)

in (-1,2) si ha:

• • • $ \displaystyle\lim_{x \to -1^-} y(x) = 2$
    • $ \displaystyle\lim_{x \to -1^+} y(x) = 2$
    • y(-1) = 2 
    • risponde positivamente alla definizione di continuità

per x = 1 si ha:

• • • $ \displaystyle\lim_{x \to 1^-} y(x) = 4$
    • y(1) = 0
    • discontinuità di 1° tipo con salto δ = 4

b. derivabilità

La funzione ristretta ai punti interni dei singoli tratti è sicuramente derivabile (funzioni costanti e polinomiale)

Occorre verificare se lo è anche nei punti di raccordo.

in (-1,2) si ha:

• • • derivata sinistra D⁻y(-1) = 0     (derivata di una funzione costante) 
    • derivata destra D⁺y(-1) = 1      (derivata di y = x+3)

Possiamo concludere che la funzione non è derivabile essendo le due derivate laterali diverse tra loro.

per x = 1 si ha:

• • • La funzione non è derivabile essendo non continua.