limiti

Se il limite per x → 0 da come risultato 1, necessariamente i termini in x² sono infinitesimi di ordine superiore.

Il limite dato è equivalente a

$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{ax\sqrt{x}}{x^{\frac{b+1}{2}}} $

dal numeratore segue che l'ordine di infinitesimo è 3/2.

Il limite sarà 1 (finito diverso da zero) se e solo se anche l'ordine di infinitesimo del denominatore è 3/2.

Imponiamolo

$ x^{\frac{b+1}{2}} = x^{\frac{3}{2}} $

$ \frac{b+1}{2} = \frac{3}{2} $

$ b+1 = 3 \; ⇒ b = 2 $

Il limite si riduce a

$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{ax^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{2+1}{2}}} = a$ 

Per ipotesi il limite deve essere eguale a 1 quindi 

$ a = 1$

ritorniamo al limite dato con i parametri calcolati, per determinarne il limite per x → +∞

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + x\sqrt{x}}{x^2+x^{\frac{3}{2}}} = 2 $

Chiarimento rispetto alla domanda del richiedente (@confused)

Potrebbe spiegarmi meglio perché dice:

"i termini dominanti sono quelli con l'esponente più basso. Affinché il limite esista finito e sia 1, i termini di ordine più basso al numeratore e al denominatore devono essere dello stesso ordine e i loro coefficienti devono soddisfare il limite"