Sfere e rette

(x - 2)^2 + y^2 + (z + 3)^2 = r^2

generica sfera di centro [2, 0, -3]

La retta:

{x = t - 1

{y = 2·t + 1

{z = 2

la interseca per 2 valori di t.

((t - 1) - 2)^2 + (2·t + 1)^2 + (z + 3)^2 = r^2

(t^2 - 6·t + 9) + (4·t^2 + 4·t + 1) + 25 = r^2

5·t^2 - 2·t - (r^2 - 35) = 0(7 - 2·√(5·r^2 - 174))/5

t = (1 - √(5·r^2 - 174))/5 ∨ t = (√(5·r^2 - 174) + 1)/5

per t = (1 - √(5·r^2 - 174))/5

ho:

{x = (1 - √(5·r^2 - 174))/5 - 1 = - (√(5·r^2 - 174) + 4)/5

{y = 2·((1 - √(5·r^2 - 174))/5) + 1= (7 - 2·√(5·r^2 - 174))/5

{z = 2

per t = (√(5·r^2 - 174) + 1)/5

ho:

{x = (√(5·r^2 - 174) + 1)/5 - 1= (√(5·r^2 - 174) - 4)/5

{y = 2·((√(5·r^2 - 174) + 1)/5) + 1= (2·√(5·r^2 - 174) + 7)/5

{z = 2

Deve essere:

(- (√(5·r^2 - 174) + 4)/5 - (√(5·r^2 - 174) - 4)/5)^2 +

+((7 - 2·√(5·r^2 - 174))/5 - (2·√(5·r^2 - 174) + 7)/5)^2 = 8^2

4·(5·r^2 - 174)/25 + 16·(5·r^2 - 174)/25 = 64

4·(5·r^2 - 174)/25 + 16·(5·r^2 - 174)/25 - 64 = 0

4·(5·r^2 - 254)/5 = 0

5·r^2 - 254 = 0----> r^2 = 254/5

(x - 2)^2 + y^2 + (z + 3)^2 = 254/5