Limiti

a.  

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \; ⇔ \; 1-a^2 \ge 0 \; ⇔ \; -1\le x \le 1 $

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty \; ⇔ \; a \le 0 $ 

Sono entrambe vere per ogni valore di x appartenente all'intersezione dei due insiemi precedenti.

$ -1 \le a \le 0 $

b. 

$ \displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{g(x)} \in \mathbb{R} $

Osserviamo che il limite del denominatore vale 0, quindi per essere finito necessariamente si deve annullare anche il limite del numeratore.

$ \displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = 0 $

$ 4(1-a^2) + 8+4 = 0 $

$ 1-a^2+3 = 0$

$ a = \pm 2$

c. 

i)

$ \displaystyle\lim_{a \to +\infty} \bar{AB} $

Determiniamo le coordinate dei punti di intersezione con l'asse delle x, risolvendo l'equazione

$ (1-a^2)x^2+4x+4 = 0 $

Le cui soluzioni sono 

• $ x = -\frac{2}{a+1}$     Indichiamo con $A(-\frac{2}{a+1}, 0)$
• $ x =  \frac{2}{a-1}$      Indichiamo con $B(\frac{2}{a-1}, 0)$

$ \bar{AB} = |B-A| = \frac{2}{a-1} + \frac{2}{a+1} = \frac{4a}{a^2-1} $ per cui

$ \displaystyle\lim_{a \to +\infty} \bar{AB} = \displaystyle\lim_{a \to +\infty} \frac{4a}{a^2-1} = 0$

ii)

$ \displaystyle\lim_{a \to +\infty} \bar{CD} $

Determiniamo le coordinate dei punti di intersezione con l'asse delle x, risolvendo l'equazione

$ ax^2-2x-4a+4 = 0 $

Le cui soluzioni sono 

• $ x = 2 $                           Indichiamo con $C(2, 0)$
• $ x =  \frac{2(1-a)}{a}$    Indichiamo con $D(\frac{2(1-a)}{a}, 0)$

$ \bar{CD} = |C-D| = \frac{2a-2+2a}{a} + \frac{4a-2}{a} $ per cui

$ \displaystyle\lim_{a \to +\infty} \bar{CD} = \displaystyle\lim_{a \to +\infty} \frac{4a-2}{a} = 4$

iii) $ \displaystyle\lim_{a \to +\infty} \frac{\bar{AB}}{\bar{CD}} = $ 

$ = \displaystyle\lim_{a \to +\infty} \frac{(4a-2)(a^2-1)}{4a^2} = +\infty $

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