limiti

Il primo, con i limiti notevoli, lim_y->0  sin y/y = 1 e lim_y->0 ln(1+y)/y  = 1,

equivale a lim_x->0+ 3x^2/(4x^2) = 3/4

l'altro, invece, per il Teorema dei Carabinieri, é uguale a 0,

infatti  -1/ln(1 + 4x^2) <= sin(3x^2)/ln (1 + 4x^2) <= 1/ln (1 + 4x^2)

per ogni x =/= 0; pertanto, passando al limite per x->+oo,

| lim_x->+oo sin(3x^2)/(ln(1+4x^2)) | <= lim_x->+oo 1/ln (4x^2) = 0

da cui   lim_x->+oo  sin (3x^2)/ln(1 + 4x^2) = 0.

I due limiti si riferiscono alla stessa funzione:

y= SIN(3·x^2)/LOG(1 + 4·x^2)

il cui numeratore rappresenta una funzione limitata:

-1<=N(x)<=1

il denominatore D(x)---->0+ per x--->0+

Quindi per --->0+la forma del primo limite è indeterminata del tipo (0/0)

Applichiamo De Lì'Hopital_

N'X)=6·x·COS(3·x^2)

D'(x)= 8·x/(4·x^2 + 1)

Ne consegue che:

6·x·COS(3·x^2)/(8·x/(4·x^2 + 1)) = 3·(4·x^2 + 1)·COS(3·x^2)/4

Quindi ci si riporta al limite:

LIM(3·(4·x^2 + 1)·COS(3·x^2)/4= 3/4

x---->0+

L'altro limite dato è nullo in quanto il N(x) è una funzione limitata, mentre il D(x)----->+inf

Ne consegue per il secondo che:

LIM(SIN(3·x^2)/LOG(1 + 4·x^2))=0

x--->+∞