Limite di una funzione

Supponendo che tu non possa usare gli sviluppi di McLaurin, altrimenti sarebbe facile,

cos x = cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = 1 - 2 sin^2(x/2)

ln (1 - 2 sin^2(x/2)) ~ - 2 sin^2(x/2) perché lim_u->0 ln(1+u)/u = 1

e questo é a sua volta analogo a - 2 (x/2)^2 = - 1/2 x^2 perché

lim_v->0 sin(v)/v = 1

Il tuo limite é quindi equivalente a lim_u->0 -1/2 u^2 : u^2 = -1/2

@sam_caggia

Ciao di nuovo.

Il limite:

LIM(LOG(COS(x))/x^2= forma (0/0)

x---->0

In quanto:

LIM(LOG(COS(x))=0

x--->0

Analogamente:

LIM(x^2)=0

x--->0

Quindi puoi applicare De L'Hopital

N'(x)= - TAN(x)

D'(x)= 2·x

se calcoli il limite ha ancora la forma (0/0)

Ancora:

N''(x)=- 1/COS(x)^2

D''(x)= 2

Quindi ti riporti al calcolo del limite della funzione:

(- 1/COS(x)^2)/2=- 1/(2·COS(x)^2)

Quindi:

LIM(- 1/(2·COS(x)^2) = -1/2

x--->0

* lim_(x → 0) ln(cos(x))/x^2 =
= lim_(x → 0) (d/dx ln(cos(x)))/(d/dx x^2) =
= lim_(x → 0) (- tg(x))/(2*x) =
= - (1/2)* lim_(x → 0) tg(x)/x =
= - (1/2)* lim_(x → 0) (d/dx tg(x))/(d/dx x) =
= - (1/2)* lim_(x → 0) (1/cos^2(x))/(1) =
= - 1/2
CONTROPROVA nel paragrafo "Limit" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_%28x+%E2%86%92+0%29+ln%28cos%28x%29%29%2Fx%5E2