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Livello 0
Riscrivo la funzione:
√(1 - COS(x))/x= √(1 - COS(x))·√(1 + COS(x))/(x·√(1 + COS(x)))=
=√(1 - COS(x)^2)/(x·√(1 + COS(x)))=SIN(x)/(x·√(1 + COS(x)))
Quindi la funzione è interpretabile come prodotto di due funzioni:
SIN(x)/x il cui limite è notevole:
LIM(SIN(x)/x) =1
x---->0+
1/√(1 + COS(x)) il cui limite vale:
LIM(1/√(1 + COS(x)))=√2/2
x---->0+
Pertanto il limite richiesto è il prodotto dei due limiti:
LIM(√(1 - COS(x))/x)=√2/2
x---->0+
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Genius II
la radice di 1 - cos x, essendo sin (x/2) = sqrt ((1 - cos x)/2 )
si può scrivere sqrt(1 - cos x) = sqrt(2) * sin (x/2)
il rapporto diventa sqrt (2) sin (x/2) / [2 * x2 ] = sqrt(2)/2 sin(x/2)/(x/2)
e quando x/2 -> 0 il limite é sqrt(2)/2 * 1 = sqrt(2)/2
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Livello 7