leggere un grafico di una funzione

Ciao Angela,

provo a spiegarti il concetto di dominio, immagine e codominio nel caso generale e poi analizziamo il grafico mostrato:

Dati due insiemi A e B, una funzione f è la legge che associa ad ogni x, generico elemento appartenente all'insieme A, una e una sola y, elemento appartenente all'insieme B. 

Si definisce dominio l'insieme degli elementi x di A.

Si definisce codominio l'insieme degli elementi y di B.

Si dice inoltre che y è l'immagine di x attraverso f (quindi un insieme delle immagini è un sottoinsieme del codominio e al più può coincidere con il codominio stesso).

Nel caso particolare:

-dominio: [-5,5)

-codominio: [-3,4]

-immagine: y|y=f(x)=M*sin(x+φ)+N

la funzione f è un'onda armonica dove M è l'ampiezza e φ è lo sfasamento dell'onda. Purtroppo non ci sono abbastanza informazioni per determinare l'andamento dell'onda. A occhio sembra un'onda con attenuazione.

Prima di rispondere ai tuoi quesiti ti muovo un appunto (non te la prendere, ma per parlare di matematica il linguaggio dev'essere privo di equivoci) sul titolo: se avessi scritto "leggere UN grafico di funzione" il riferimento sarebbe stato a "ad esempio questo"; se avessi scritto "leggere IL grafico di una funzione" il riferimento sarebbe stato a "non so come trovare"; scrivendo "leggere UN grafico di UNA funzione" non ti riferisci a entrambe le cose, ma scrivi una frase equivoca.
Io avrei scritto "Come leggere i grafici di funzione" mantenendomi nel vago, così poi nel testo le due diverse richieste sarebbero state coperte entrambe e la terza, come codicillo della prima, non sarebbe sembrata fuori tema.
Non ce l'ho con te, beninteso, ma solo col tuo maestro di quinta elementare che non te lo fece notare a tempo debito.
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Dall'ispezione del grafico io leggo le informazioni che seguono e te le elenco nell'ordine d'importanza in cui le devi cercare (così ti rispondo anche al "come trovare").
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0) Preliminare: le convenzioni grafiche.
* pallino pieno ≡ appartenenza
* pallino vuoto ≡ non appartenenza
* punteggiato ≡ marca una retta coordinata
* trattino ≡ marca un punto coordinato
* numero a fianco di pallino o trattino ≡ valorizza una coordinata
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1) Se il grafico è in due dimensioni (x, y) ed è costituito da una o più linee continue allora dominio e codominio sono l'intero asse reale delle variabili x ed y.
* f: R → R
ovvero
* y = f(x)
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2) L'insieme di definizione E (di Esistenza) è la differenza fra l'insieme dominio e i punti in cui la funzione non è definita.
* E = R\{nd} = x in [- 5, 5) ≡ - 5 <= x < 5
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3) L'insieme di definizione reale D (grafico Disegnabile) è la differenza fra l'insieme d'esistenza e i punti in cui la funzione ha valori non reali. In questo caso nell'insieme E ogni valore di y è reale (c'è un punto nel grafico).
* D ≡ E\{nr} ≡ - 5 <= x < 5
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4) L'insieme immagine I è la differenza fra l'insieme codominio e i valori che non sono funzione di un valore in D (o in E, secondo il contesto del problema).
* I = R\{nf} = y in [- 3, 4] ≡ - 3 <= y <= 4
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5) La forma del grafico indica una funzione sinusoidale traslata di cui si possono leggere
* ampiezza A = (4 - (- 3))/2 = 7/2
* componente continua C = - 3 + (4 - (- 3))/2 = 1/2
* segno negativo (per x da zero a crescere y cala)
* periodo T = (5 - (- 5)) = 10
cioè
* y = C - A*sin((2*π/T)*x + φ) ≡
≡ y = 1/2 - (7/2)*sin((π/5)*x + φ)
a cui devono appartenere i pallini (- 5, 0) e (- 5, 0).
* (0 = 1/2 - (7/2)*sin((π/5)*(- 5) + φ)) & (0 = 1/2 - (7/2)*sin((π/5)*5 + φ)) ≡
≡ (0 = 1 - 7*sin(φ - π)) & (0 = 1 - 7*sin(φ + π)) ≡
≡ (0 = 1 + 7*sin(φ)) & (0 = 1 + 7*sin(φ)) ≡
≡ 0 = 1 + 7*sin(φ) ≡
≡ φ = - arcsin(1/7) ~= - 0.143 ~= - 8° 12' 47.56''
E PERTANTO
* y = 1/2 - (7/2)*sin((π/5)*x - arcsin(1/7))
Vedi il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5B%28x%5E2-25%29*%28y%5E2-y-12%29%3D0%2Cy%3D1%2F2-%287%2F2%29*sin%28%282*%CF%80%2F10%29*x-arcsin%281%2F7%29%29%2C-5%3C%3Dx%3C%3D5%5D
e il grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5B%28x%5E2-25%29*%28y%5E2-y-12%29%3D0%2Cy%3D1%2F2-%287%2F2%29*sin%28%282*%CF%80%2F10%29*x-arcsin%281%2F7%29%29%2C-5%3C%3Dx%3C%3D5%5D

Osserva per bene la figura. Il grafico è quello di un linea continua.

Guarda ora asse x: Per quali valori di x la y assume un valore unico?
Se guardi bene: -5<=x<5 . Questo è il Dominio.[-5;5[

Passa ora alla y cioè ai valori che la funzione assume al variare della x. Se osservi  ora variano da -3<=y<=4. Questo è l’ insieme delle immagini.

Come Codominio puoi prendere o questo insieme oppure uno che lo contenga interamente.