Limiti

Per essere sicuro di aver compreso la traccia, si tratta di svolgere:

$\lim_{x->+ \infty} \frac{x^2+x+1}{2x-1} - ax-b = -1$

in questo caso io procederei nel modo seguente:

$\lim_{x->+ \infty} \frac{x^2+x+1-2ax^2+ax-2bx+b}{2x-1}$

$\lim_{x->+ \infty} \frac{(1-2a)x^2+(1+a-2b)x+1+b}{2x-1}$

Chiaramente si tratta di due funzioni (numeratore e denominatore) infinite, quindi dalla gerarchia qualora il grado del numeratore si mantenesse maggiore a quello del denominatore (detto formalmente, qualora la funzione a numeratore si mantenga un infinito di ordine superiore alla funzione a denominatore) questo limite non potrebbe essere finito.

Quindi l'idea è quella di annullare il termine di secondo grado a numeratore,

$1-2a = 0 \Rightarrow a =1/2$

da cui il limite diverrebbe

$\lim_{x->+ \infty} \frac{(3/2-2b)x+1+b}{2x-1}$

Adesso numeratore e denominatore hanno lo stesso grado, sempre dalla gerarchia sappiamo che il limite vale:

$\frac{3/2 -2b}{2}$ ed io voglio che tale quantità sia -1.

da cui $\frac{3/2 -2b}{2} = -1  \Rightarrow b=7/4$

Ciao di nuovo.

Io procederei fattorizzando la funzione, ossia trasformandola in una funzione razionale fratta:

(x^2 + x + 1)/(2·x - 1) - a·x - b--------->  (x^2·(2·a - 1) - x·(a - 2·b + 1) - b - 1)/(1 - 2·x)

Quindi deducendo i coefficienti a e b tramite sistema:

{2·a - 1 = 0

{a - 2·b + 1 = -2

Lo risolvo ed ottengo i valori:

a = 1/2 ∧ b = 7/4

Verifico:

(x^2 + x + 1)/(2·x - 1) - 1/2·x - 7/4-------> (8·x - 11)/(4 - 8·x)

Quindi 

LIM((8·x - 11)/(4 - 8·x) = -1

x--->+inf

lim_x->+oo [ (x^2 + x + 1) - (ax + b)(2x - 1) ]/(2x - 1) = -1

lim_x->+oo [ x^2 + x + 1 - 2ax^2 + ax - 2bx + b ] /(2x - 1) = -1

lim_x-> +oo [ (1-2a) x^2 + (1 + a - 2b) x + b + 1 ]/(2x - 1) = -1

e da qui

1 - 2a = 0

1 + a - 2b = -2

pertanto a = 1/2

3/2 + 2 = 2b da cui

b = 7/4

Per la verifica osserviamo che sostituendo risulterebbe

(x^2 + x + 1)/(2x - 1) ~ 1/2 x + 7/4 - 1 = 1/2 x + 3/4

per x "molto grande" e infatti

https://www.desmos.com/calculator/wp7oupmcnw

Nota : per calcolare a e b si sarebbero potute usare le formule degli asintoti, ma

ho preferito non farlo per mettere in evidenza il ruolo del Principio

di Identità dei Polinomi.