Salve a tutti, mi chiamo federico e sono un nuovo iscritto in questo sito. Avrei bisogno di aiuto per la risoluzione di questo limite usando de l' Hopital.
lim(x-->0) di (cos^2 x -1)/(x*tanx)
Salve a tutti, mi chiamo federico e sono un nuovo iscritto in questo sito. Avrei bisogno di aiuto per la risoluzione di questo limite usando de l' Hopital.
lim(x-->0) di (cos^2 x -1)/(x*tanx)
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Livello 0
Ciao, benvenuto. La funzione è:
y = (COS(x)^2 - 1)/(x·TAN(x)) =N(x)/D(x)
con ovvio significato dei simboli.
Il limite in esame ha chiaramente la forma indeterminata (0/0) per x---->0
Quindi andiamo ad esaminare per x--->0 le forme dei limiti dei rapporti:
N'(x)/D'(x); N''(x)/D''(x) ect. ect.
Limite del primo rapporto:
N'(x)=- 2·SIN(x)·COS(x)
D'(x)=TAN(x) + x/COS(x)^2
Quindi:
LIM (N'(x)/D'(x)) ha chiaramente la forma indeterminata (0/0) per x---->0
x--->0
Limite del secondo rapporto:
N''(x)=-2[COS(x)·COS(x)+SIN(x)·(-SIN(x)]=-2[COS(x)^2-SIN(x)^2]=-2[2COS(x)^2-1]=
N''(x)=2 - 4·COS(x)^2 Quindi N''--->-2 : x-->0
D''(x)=2/COS(x)^2 + 2·x·SIN(x)/COS(x)^3 Quindi D''--->2 : x--->0
Ne consegue che:
LIM((COS(x)^2 - 1)/(x·TAN(x)))=-1
x--->0
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Genius II
lim(x-->0) di (cos^2 x -1)/(x*tanx)
Il limite si presenta come una forma indeterminata del tipo 0/0 inoltre, le funzioni presenti al numeratore e al denominatore sono derivabili, quindi sono soddisfatte le ipotesi per applicare la regola di de l'Hospital.
Deriviamo il numeratore n e il denominatore d
d' = (x*tanx)' = tanx + x/cos²x
studiamone il limite
lim(x→0) - sin(2x) /(tanx + x/cos²x)
siamo ancora di fronte a una forma indeterminata del tipo 0/0
Applichiamo ancora de l'Hospital al numeratore N e al denominatore D
N' =(- sin(2x))' = -2cos(2x) = 2(sin²x-cos²x)
D' =(tanx + x/cos²x)' = 2(x*tanx+1)/cos²x
lim(x→0) 2(sin²x-cos²x)/2(x*tanx+1)/cos²x = -2/2*(1/1) = -1
Questo risultato ci permette di affermare che
lim(x-->0) di (cos^2 x -1)/(x*tanx) = -1.
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Livello 1
@cmc quando hai applicato per la seconda volta il teorema da dove ne è uscito quel 2 al denominatore che moltiplica (x*tanx +1)/cos^2 x? Cioè quando hai fatto la derivata del denominatore
si deve derivare la funzione composta N(x) = -sin(2x)
N' = [-sin(2x)]' = - cos(2x)*d(2x)/dx = - 2 * cos(2x) = 2 * (sin²x-cos²x)
riassumo la regola della derivata della funzione composta
y(x) = f(g(x)) per cui
y'(x) = d(f(g(x))/d(g(x)) * dg(x)/dx
nel nostro caso
N(x) = - sin(2x) dove
f(g(x) = -sin(2x)
g(x) = 2x
N'(x) = - cos(2x)*2 = -2(cos²x-sin²x) = 2(sin²x-cos²x)
@cmc si quello l'ho capito ma nel denominatore ho difficoltà quando si deriva per la seconda volta
Usando "de l' Hopital" non saprei come aiutarti.
Se t'accontenti uso il "Teorema di «de l'Hôpital»".
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L'autore del teorema fu
«Guillaume François Antoine de Sainte Mesme», marchese «de l'Hôpital», o «de l'Hospital»
quindi quello è il "Teorema di «de l'Hospital»" o il "Teorema di «de l'Hôpital»",
non il "Teorema di «de l'Hopital»" o "Teorema di «De ...»" o peggio, ASSOLUTAMENTE ERRATO grammaticalmente, il "Teorema «dell' ...»".
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Sostituendo zero per x si osserva
* (cos^2(x) - 1)/(x*tan(x)) → (cos^2(0) - 1)/(0*tan(0)) = (1^2 - 1)/(0*0)
il rapporto fra due espressioni di grado due, perciò il calcolo del limite richiede due applicazioni successive del Teorema di de l'Hôpital senza bisogno di elaborazioni preliminari in quanto l'indeterminata è già nella forma zero su zero.
Quindi
* lim_(x → 0) ((cos^2(x) - 1)/(x*tan(x))) =
= lim_(x → 0) (D[(cos^2(x) - 1),{x, 2}]/D[(x*tan(x)),{x, 2}]) =
= lim_(x → 0) (2*(sin^2(x) - cos^2(x))/(2*(x*tan(x) + 1)*sec^2(x))) =
= lim_(x → 0) (- (cos^3(x)*cos(2*x))/(x*sin(x) + cos(x))) =
= - (1*1)/(0*0 + 1)) =
= - 1
VERIFICA
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_%28x%E2%86%920%29%28%28cos%5E2%28x%29-1%29%2F%28x*tan%28x%29%29%29
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Genius I