Buonasera a tutti qualcuno riesce a darmi una mano per l'esercizio allegato che non riesco a capire.(quello cerchiato in arancione)
Buonasera a tutti qualcuno riesce a darmi una mano per l'esercizio allegato che non riesco a capire.(quello cerchiato in arancione)
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Livello 1
@mike_lorenzo il procedimento in foto non è corretto; ad ogni modo quando hai 0 fratto qualcosa che tende a 0, ma non è 0, fa 0.
Qui dovresti approssimare meglio la funzione $\sin x$ perché la prima approssimazione non la descrive abbastanza precisamente quando confrontata con il denominatore. Devi quindi conoscere gli sviluppi di Taylor (non sono nel programma del liceo): $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$. L'o-piccolo va a 0 qui.
N(x)=SIN(x) - x
D(x)= x^2
per x--->0 il limite richiesto ha forma indeterminata (0/0)
Applichiamo De L'Hopital:
N'(x) = COS(x) - 1
D'(x)= 2·x
per x-->0 il limite richiesto ha ancora forma indeterminata (0/0)
Applichiamo De L'Hopital:
N''(x)= - SIN(x)
D''(x)= 2
per x-->0 il limite richiesto ha forma determinata (0/2)
quindi:
LIM((SIN(x) - x)/x^2) = 0
x---> 0
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Genius III
Problema:
Calcolare il seguente limite:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x-x}{x^3}$
Soluzione:
EDIT: Risposta eliminata perché conteneva un errore abbastanza grossolano.
Si può utilizzare de l'Hôpital.
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Livello 6
@rebc anche io sono riuscito ad arrivare a questo punto ma ho visto che la soluzione e' -1/6
@mike_lorenzo sì scusa, ho sbagliato io perché i limiti esistono ma non finiti e si arriva a $\infty - \infty$ che è una affermazione vuota. Scusa per l'errore, procedo ad eliminare la risposta in quanto potrebbe generare confusione.
Puoi procedere con de l'hopital.
E' una forma indeterminata del tipo 0/0
Vedo tre alternative.
1. De l'Hôpital
Calcoliamo il limite delle derivate
$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{cos\,x - 1}{3x^2} = \displaystyle\lim_{x \to 0} -\frac{1}{3} \frac{1-cos\,x}{x^2} = - \frac{1}{6}$
Qui sopra abbiamo usato un limite notevole.
Per il teorema di de l'Hôpital possiamo concludere che il limite della funzione data esiste e vale $-\frac{1}{6}$
2. Taylor
Sviluppando con Taylor con resto di Peano
$ = \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{1}{3!} x^3 -x + o(x^3)}{x^3 + o(x^3)}= -\frac{1}{6}$
3. Due colpetti di de l'Hôpital
Calcoliamo il limite delle derivate
$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{cos\,x - 1}{3x^2} $
un altro colpo
$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{- sinx}{6x} = -\frac{1}{6} \frac{sinx}{x} = -\frac{1}{6} $
Qui sopra abbiamo usato un limite notevole.
Per il teorema di de l'Hôpital possiamo concludere che il limite della funzione data esiste e vale $-\frac{1}{6}$
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Livello 6
