limite interessante

Question

Ieri sera un mio amico mi ha contattato chiedendomi di aiutarlo a risolvere un limite per il figlio. Il limite è il seguente:

$ \lim_{x\to 0} \frac{sinx-cosx+1}{2x+x^2+1+\frac{e^x-1}{x}} $

Il mio amico aveva provato a risolverlo e il suo risultato era 1/2, che purtroppo è sbagliato.

Secondo me è un bell'esempio didattico di come i limiti possono essere "traditori" se non si presta la giusta attenzione e se non si ragiona bene sugli infinitesimi.

Buon divertimento a chi proverà a risolverlo.

P.S. Non ho bisogno della soluzione, l'ho già risolto per conto mio.

Autore

Risposta

Sebastiano

(@sebastiano)

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05/03/2024 08:48

exProf · Accepted Answer

Sarò pedissequo: se vedo una forma 0/0 io inizio a derivare.
* d/dx (sin(x) - cos(x) + 1) = sin(x) + cos(x) (lim = 1)
---------------
* d/dx (2*x + x^2 + 1 - (e^x - 1)/x) =
= d/dx (x + 1)^2 - d/dx (e^x - 1)/x =
= 2*(x + 1) - (1 + (x - 1)*e^x)/x^2
---------------
* lim_(x → 0) (2*(x + 1) - (1 + (x - 1)*e^x)/x^2) =
= 2*(lim_(x → 0) (x + 1)) - lim_(x → 0) (1 + (x - 1)*e^x)/x^2 =
= 2 - lim_(x → 0) (1 + (x - 1)*e^x)/x^2
---------------
Qui mi riciccia un'altra 0/0
* d/dx (1 + (x - 1)*e^x) = x*e^x (lim = 0)
* d/dx x^2 = 2*x (lim = 0)
* lim_(x → 0) (1 + (x - 1)*e^x)/x^2 = lim_(x → 0) x*e^x/(2*x)
e mica m'azzardo a semplificare per qualcosa che va a zero! Questa è solo una terza 0/0
* d/dx x*e^x = (x + 1)*e^x (lim = 1)
* d/dx 2*x = 2 (lim = 2)
* lim_(x → 0) x*e^x/(2*x) = lim_(x → 0) (x + 1)*e^x/2 = 1/2
---------------
Le retrosostituzioni danno
* lim_(x → 0) (1 + (x - 1)*e^x)/x^2 = lim_(x → 0) x*e^x/(2*x) = 1/2
* lim_(x → 0) (2*(x + 1) - (1 + (x - 1)*e^x)/x^2) =
= 2 - lim_(x → 0) (1 + (x - 1)*e^x)/x^2 =
= 2 - 1/2 = 3/2
da cui infine
lim_(x → 0) (sin(x) - cos(x) + 1)/(2*x + x^2 + 1 - (e^x - 1)/x) = 2/3
S.E.&O., com'è ovvio.

exProf

(@exprof)

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05/03/2024 10:28

EidosM · Answer

Usando i limiti notevoli lim_x->0   (x + 1/2 x^2)/(2x + x^2 + 1 + 1= = 0/2 = 0

Cenerentola · Answer

[attach]73395[/attach] Buongiorno @sebastiano; il risultato è zero vero?

anna.supermath · Answer

[attach]73396[/attach] …e mandiamo limiti notevoli e de l’Hopital in ferie  😂😂😂

[Risolto] limite interessante

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