limite con cambiamento della variabile

Per x--->0 il limite ha forma indeterminata 0/0 :

N(x)=ASIN(x) + ATAN(3·x)

D(x)=SIN(x) + 3·x

Quindi applichiamo De L'Hopital:

N'(x)= 1/√(1 - x^2) + 3/(9·x^2 + 1)

D'(x)=COS(x) + 3

Quindi la forma diventa:

N'(0)=1/√(1 - 0^2) + 3/(9·0^2 + 1) =4

D'(0)=COS(0) + 3 = 4

Il cui rapporto fornisce 1 che pertanto risulta il valore del limite.

    $ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{arcsin\,x + arctan \, 3x}{sin \, x +3x}  = $

dividiamo numeratore e denominatore per x

 = $ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\frac{arcsin\,x}{x} + \frac{arctan \, 3x}{x}}{\frac{sin \, x}{x} +3}  = $

 = $ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\frac{arcsin\,x}{x} + \frac{arctan \, 3x}{3x}3}{\frac{sin \, x}{x} +3}  = $

Risolviamo riconoscendo i limiti notevoli

= $ \frac{1 + 1\cdot 3}{1+3} = 1 $

Si è fatto uso dei seguenti limiti notevoli

1. $ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{arcsin\,x}{x} = 1 $
2. $ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{arctan\,x}{x} = 1 $
3. $ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{sin\,x}{x} = 1 $