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Livello 2
Problema:
Si trovi il valore che assume $x=c$, applicando il teorema di Lagrange, con le seguenti condizioni:
$f(x)=e^{2x-1}$, [0,1]
Soluzione:
Il teorema di Lagrange asserisce che se una funzione $f$ è continua in [a,b] e derivabile in (a,b), allora esiste almeno un punto $c\in (a,b)$ tale che $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Nel caso in questione si ha che l'intervallo [a,b] corrisponde a [0,1].
Dato che la funzione $f(x)=e^{2x-1}$ risulta continua in $\mathbb{R}$, dunque anche in [0,1], e la sua derivata $f'(x)=2e^{2x-1}$ in $\mathbb{R}$, dunque anch'essa in [0,1], è possibile applicare il teorema di Lagrange per determinare il valore di $c$:
$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{e-\frac{1}{e}}{1}=\frac{e²-1}{e}$
$c=\frac{1}{2} \ln \frac{e²-1}{2}$
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Livello 6