[Risolto] La fionda gravitazionale

Molte navicelle spaziali viaggiano nello spazio utilizzando l'effetto della "fionda gravitazionale", secondo il quale, quando la navicella passa vicino a un pianeta, la sua gravità determina un significativo aumento del modulo e una variazione della direzione della velocità della navicella. In questo modo, la navicella può acquistare una velocità molto maggiore di quella che avrebbe usando solo i suoi razzi.
L'effetto fu sfruttato per la prima volta il 5 febbraio 1974, quando la sonda Mariner 10 - la prima sonda impiegata per l'esplorazione di Mercurio - transitò vicino a Venere mentre si avvicinava alla sua destinazione. Più recentemente, la sonda Cassini, lanciata il 15 ottobre 1997 con destinazione Saturno e giunta sul pianeta il $1^{\circ }$ luglio 2004, ha sfruttato l'effetto fionda transitando due volte sopra Venere, dopo un avvicinamento alla Terra e uno a Giove.
Una versione semplificata della manovra dell'effetto fionda è illustrata in figura, nella quale si può vedere una navicella che si muove verso sinistra con velocità iniziale $v_i$, un pianeta che si muove verso destra con velocità $u$ e la stessa navicella che si muove verso destra con velocità finale $v_f$, dopo l'avvicinamento.

L'interazione può essere considerata una collisione elastica in una dimensione, come se il pianeta e la navicella fossero due carrelli di una rotaia a cuscino d'aria. Durante l'interazione sono conservate sia l'energia sia la quantità di moto e quindi è soddisfatta anche la condizione seguente: la velocità relativa di avvicinamento è uguale alla velocità relativa di allontanamento.
Se si considera che la velocità del pianeta, di massa molto grande, dopo l'interazione non è sostanzialmente variata, la condizione precedente può essere usata per determinare la velocità finale della navicella.
1 Rispetto a un osservatore sul pianeta, qual è la velocità di avvicinamento della navicella?
2 Rispetto a un osservatore sul pianeta, qual è la velocità di allontanamento della navicella?
3 Imponi che la velocità di allontanamento sia uguale alla velocità di avvicinamento. Risolvendo l'equazione ottenuta rispetto alla velocità finale che cosa ottieni?
4 Considera il caso particolare in cui $v_{\mathrm{i}}=u$. Di quale fattore aumenta l'energia cinetica della navicella in seguito all'avvicinamento al pianeta?
[3. $v_{\mathrm{f}}=v_{\mathrm{i}}+2u_i$ 4. 9]

Avrei bisogno di aiuto con questo esercizio di fisica. Ho provato a risolverlo in alcuni modi però non riesco a capire bene la teoria.