Iperbole. Help me

IN FONDO A QUESTA RISPOSTACCIA POI TI MOSTRO COME FARE IL CALCOLO RICHIESTO.
Ho prima da esporre qualche pensiero che m'è venuto così en passant.
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La bellezza è garenzia di bontà; i giovani sono belli; quindi sono anche buoni.
OPPURE NO? almeno a giudicare da cosa e come avete scritto @EMC2 e tu!
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EMC2, nel leggere l'Art. 1 c. 2 del Regolamento, ne dà un'interpretazione non solo letterale, ma anche estensiva. Lo spirito di quella norma, com'è apparso da come i gestori del sito ne hanno gestito l'applicazione, è apparso essere di non scrivere nella stessa domanda più quesiti su argomenti scorrelati come nelle orribili domande su Quora (p.es. un quesito sul DNA, uno sulla politica estera e uno sull'esistenza di Dio). Per il resto due quesiti di geometria sullo stesso argomento (p.es. l'iperbole) mi possono anche andar bene se mi risparmiano di scrivere due volte le stesse cose; mi vanno meno bene se sono in due domande successive e la formulazione della seconda (questa) mi fa capire che ho solo sprecato tempo a rispondere alla prima
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/33632/
perché il richiedente non si prese la briga di leggere la mia risposta.
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Tu, nel replicare @Sebastiano e nel successivo battibeccare forse non ti sei resa conto della vera dimensione dello scambio: la gentilezza della forma è del tutto trascurabile rispetto alla cortesia dei significati. Nello scrivere "Urgente" nel titolo tu sei stata scortese, pur senza contravvenire alla gentilezza formale, perché quella scritta equivale a uno schiocco di dita verso gli schiavi per farne accorrere uno e a noi responsori non piace il lavoro servile: io rispondo per passatempo, non per lavoro; quando lavoravo gradivo essere remunerato, non fare lo schiavo.
Inoltre sei anche stata cattiva nell'equivocare sulle intenzioni di Sebastiano ("Ho chiesto ... di essere aiutata e non attaccata.") pensando che t'intendesse "attaccare" e che la tua richiesta (d'essere non aiutata, ma servita! v. sopra) gli fosse dispiaciuta "involontariamente", per te. Da quello che riesco a leggere Sebastiano ti ha "ripreso", non attaccato e cioè t'ha fatto un piacere, è stato cortese: che qualcuno ti faccia notare che se ti comporti con arroganza (nel dirmi "Accorri, schiavo!" ti stai arrogando un diritto altrui: uno si muove se vuole, non se lo ordini tu!) hai solo da perderne è un favore perché qui non ti costa nulla.
Tu puoi riconoscere d'essere stata inopportuna e farne tesoro per le prossime volte, e ti sarà di vantaggio; chi ti riprende in una sede informale come questa ti sta mettendo in guardia per il futuro, quando non sarà più così: se dirai "Urgente" a un professore in sede d'esame sarai bocciata subito, non la seconda volta; se lo dirai a un capufficio non ti sarà rinnovato il contratto e, se lo dirai una seconda volta sarai licenziata subito; se da professionista farai fretta a un potenziale cliente, l'avrai perduto. Se non sarai in grado di roconoscerlo, beh non sarà stata colpa di chi non te l'ha detto in tempo utile.
I RIMPROVERI AIUTANO A CRESCERE CHI LI SA ASCOLTARE.
Perciò quando Sebastiano t'invita a rispettare le giuste forme per chiedere un favore lo dovresti ringraziare e non rimbeccare.
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COMUNQUE COSA FATTA CAPO HA. PASSO ALLE IPERBOLI.
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L'esercizio del link su citato chiedeva d'intersecare una retta con un'iperbole e calcolare la distanza fra le intersezioni.
L'esercizio #118 pure, ma è l'inverso: dà la corda e chiede l'iperbole.
L'esercizio #119 pure, ma è diverso: chiede i fuochi e la verifica che essi formino un parallelogramma con le intersezioni.
Tutt'e tre le iperboli sono centrate nell'origine e con assi di simmetria su quelli coordinati, quindi immediatamente riducibili alla forma normale standard
* (x/a)^2 - (y/b)^2 = ± 1
dalla quale leggere l'asse focale, i semiassi (a, b) e quindi la semidistanza focale
* c = √(a^2 + b^2)
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118) r ≡ x - 4*y = 0 ≡ y = x/4
* Γ ≡ x^2 - y^2 = a^2
* r & Γ ≡ A(- √(16*a^2/15), - √(a^2/15)) oppure B(√(16*a^2/15), √(a^2/15))
* d = √((xA - xB)^2 + (yA - yB)^2) = 2*a*√(17/15) = 16*√(17/15) ≡
≡ 2*a = 16 ≡
≡ a = 8
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119) r ≡ y = 4*x
* Γ ≡ x^2 - y^2/8 = - 1 ≡ (x/1)^2 - (y/(2*√2))^2 = - 1
asse focale y; c = √(1 + 8) = 3; fuochi F(0, ± 3)
* r & Γ ≡ A(- 1, - 4) oppure B(1, 4)
Vedi il grafico e il paragrafo "Properties" ("independent edge lengths" e "interior angles") al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=polygon%28-1%2C-4%29%280%2C-3%29%281%2C4%29%280%2C3%29

molto simili a quello richiesto ieri: https://www.sosmatematica.it/forum/domande/iperbole-8/#post-33583

I punti di intersezione li ottieni risolvendo il sistema

$\begin{cases}x^2-y^2/8= - 1 \\ y = 4x \end{cases}

A questo punto proprio come nell'esercizio che ti ho linkato, per verificare si tratti di un parallelogramma, dovrai mostrare che due lati opposti sono paralleli e congruenti.