IPERBOLE

intersechiamo la retta e l'iperbole:

$\begin{cases} x-4y+5=0 \\ 3x^2 -8y^2 = -5\end{cases}$

che risolta fornisce i due punti $A(-1;1)$, B$(3,2)$

A questo punto la lunghezza della corda si calcola semplicemente come lunghezza del segmento di estremi A e B:

$AB= \sqrt{(x_A-x_B)^2 + (y_A-y_B)^2} = \sqrt{17}$

La distanza d fra le due soluzioni A(xA, yA) e B(xB, yB) di un sistema "retta r & conica Γ" è la misura dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti le differenze fra le coordinate omologhe di A e di B
* d = √((xA - xB)^2 + (yA - yB)^2)
ed ha valore
* immaginario positivo, se r è esterna a Γ
* zero, se r è tangente Γ
* reale positivo, se r è secante Γ
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NEL CASO IN ESAME
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Dalle equazioni
* r ≡ x - 4*y + 5 = 0 ≡ y = (x + 5)/4
* Γ ≡ 3*x^2 - 8*y^2 = - 5
si forma la risolvente
* 3*x^2 - 8*((x + 5)/4)^2 + 5 = 0 ≡
≡ (5/2)*(x + 1)*(x - 3) = 0 ≡
≡ (xA = - 1) oppure (xB = 3)
poi, dalla r, si completa la risoluzione del sistema
* yA = (- 1 + 5)/4 = 1
* yB = (3 + 5)/4 = 2
e si conclude col risultato richiesto
* d = √((- 1 - 3)^2 + (1 - 2)^2) = √17