[Risolto] IPERBOLE DALLA FUNZIONE AL GRAFICO

Problema: Ricava il grafico dell'iperbole partendo dalla propria equazione $χ: y=-\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}$

Soluzione: Si nota facilmente che tramite alcuni passaggi si presentano due variabili di secondo grado e che dunque si otterrà una equazione del tipo $χ: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$ dove a rappresenta il semiasse trasverso e b il semiasse non trasverso.

Ci si riconduce alla suddetta formula: 

$y=-\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}$

$-2y=\sqrt{x^2+4}$ dove y è necessariamente negativa

$4y^2=x^2+4$

$4y^2-x^2=4$

$y^2-\frac{x^2}{2^2}=1$

e dunque come previsto: $\frac{x^2}{2^2}-y^2=-1$ con a=2 e b=1.

Per rappresentarla graficamente è necessario osservare che l'iperbole presenta i fuochi, definiti come $F(0;\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}})$, sull'asse delle ordinate, i vertici definiti come V(0;$\pm b$) e gli asintoti definiti dalle equazioni $α: y=\pm \frac{b}{a}x$ . 

Dunque:

$α: y=\pm \frac{1}{2}x$

$F(0;\pm \sqrt{2^{2}+1^{2}})$ = $F(0;\pm \sqrt{5})$

$V(0;\pm 1)$

Poiché la funzione del testo presenta il segno meno «-» si considera la parte di grafico dove vale $y\le 0$ [Nel grafico indicata in blu].

L'immagine che segue è stata realizzata tramite l'elaboratore grafico Desmos.