IPERBOLE

y = (k·x + 3)/(2·x + k - 1)

la riscrivo come:

y = k/2 - (k^2 - k - 6)/(2·(2·x + k - 1))

(fai la divisione fra polinomi)

Deve quindi essere:

(k^2 - k - 6)/(2·(2·x + k - 1)) ≠ 0

risolvo ed ottengo:  k ≠ 3 ∧ k ≠ -2

determino i punti base, quindi riscrivo:

y·(2·x + k - 1) - (k·x + 3) = 0

k·(y - x) + (2·x·y - y - 3) = 0

{2·x·y - y - 3 = 0

{y - x = 0

Risolvo ed ottengo:

[x = -1 ∧ y = -1 , x = 3/2 ∧ y = 3/2]

[-1, -1] e [3/2, 3/2]

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y = (k·x + 3)/(2·x + k - 1) con asintoto verticale y=3

k/2 = 3----> k = 6

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Asintoto verticale si ottiene per

2·x + k - 1 = 0----> x = (1 - k)/2

(1 - k)/2 = 5---> k = -9

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passaggio per [1, 3]

3 = (k·1 + 3)/(2·1 + k - 1)

3 = (k + 3)/(k + 1)

k = 0

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[-1, 0] e [0, 3]

retta in forma segmentaria: x/(-1) + y/3 = 1

y = 3·x + 3

y = (k·x + 3)/(2·x + k - 1)

ha centro in [(1 - k)/2, k/2]

k/2 = 3·((1 - k)/2) + 3

k/2 = 3·(3 - k)/2----> k = 9/4

Il fascio
* Γ(k) ≡ y = (k*x + 3)/(2*x + k - 1)
ha asintoti
* orizzontale y = k/2
* verticale x = (1 - k)/2
e quindi luogo dei centri
* (x = (1 - k)/2) & (y = k/2) ≡ (k = 1 - 2*x) & (y = 1/2 - x)
e centro C((1 - k)/2, k/2)
Gli eventuali punti base sono la soluzione del sistema fra due qualsiasi Γ(k)
* Γ(0) ≡ y = 3/(2*x - 1)
* Γ(1) ≡ y = (x + 3)/(2*x)
* (y = 3/(2*x - 1)) & (y = (x + 3)/(2*x)) ≡
≡ (- 1, - 1) oppure (3/2, 3/2)
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a) Per i casi degeneri (y = costante) uno si trova per ispezione (a colpo d'occhio)
* Γ(3) ≡ y = (3*x + 3)/(2*x + 3 - 1) = 3*(x + 1)/(2*(x + 1)) = 3/2
ma per identificare l'altro l'osservazione mi tradisce e devo limitarmi a verificare il risultato atteso
* Γ(- 2) ≡ y = (- 2*x + 3)/(2*x - 2 - 1) = (3 - 2*x)/(2*x - 3) = - 1
uhm, non era complicato, l'avrei dovuto vedere (atrofia cerebrale, vecchiaia, desaturazione prolungata, ...).
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b) asintoto verticale x = (1 - k)/2 = 5 ≡ k = - 9
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c) vincolo d'appartenenza di P(1, 3)
* 3 = (k*1 + 3)/(2*1 + k - 1) ≡ k = 0
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d) s'interseca il luogo dei centri con la retta AB congiungente A(- 1, 0) con B(0, 3)
* AB ≡ x/(- 1) + y/3 = 1
* (y = 1/2 - x) & (x/(- 1) + y/3 = 1) ≡ C(- 5/8, 9/8)
e dall'identità con C((1 - k)/2, k/2) si ricava il parametro che lo consenta
* ((1 - k)/2, k/2) = (- 5/8, 9/8) ≡ k = 9/4