IPERBOLE

Question

Dopo aver studiato il fascio di funzioni omografiche di equazione $y=\frac{k x+1}{(k+1) x+2 k}$, determina l'equazione dell'iperbole del fascio avente come asintoto verticale la retta di equazione $x=-4$ e rappresentala graficamente.
$$
\text { [L'equazione rappresenta un'iperbole per } \left.k \neq-\frac{1}{2} \wedge k \neq \pm 1 \text {; punti base: }(-1,-1),\left(2, \frac{1}{2}\right) ; y=\frac{2 x-1}{x+4}\right]
$$

Studia i fasci di funzioni omografiche di cui è data l'equazione, determinando gli eventuali punti per cui passano tutte le curve del fascio (punti base).

Autore

Risposta

ALBY

(@alby)

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livello:

Livello 2

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10/07/2024 23:10

LucianoP · Accepted Answer

y = (k·x + 1)/((k + 1)·x + 2·k)

Riscrivo (faccio divisione fra polinomi):

y = k/(k + 1) - (2·k^2 - k - 1)/((k + 1)·(x·(k + 1) + 2·k))

è quindi iperbole se risulta:

{(2·k^2 - k - 1)/((k + 1)·(x·(k + 1) + 2·k)) ≠ 0

{k + 1 ≠ 0

Quindi:

{2·k^2 - k - 1 ≠ 0

{k ≠ -1

che risolto fornisce: k ≠ - 1/2 ∧ k ≠ -1 ∧ k ≠ 1

Punti base del fascio.

Riscrivo:

y·((k + 1)·x + 2·k) - (k·x + 1) = 0

k·(x·(y - 1) + 2·y) + x·y - 1 = 0

{x·(y - 1) + 2·y = 0

{x·y - 1 = 0

Risolvo ed ottengo: [x = -1 ∧ y = -1 , x = 2 ∧ y = 1/2]

[-1, -1] e [2, 1/2]

-------------------------------

Asintoto verticale: x = -4

(k + 1)·x + 2·k = 0----> x = - 2·k/(k + 1)

Quindi: - 2·k/(k + 1) = -4----> k = -2

y = ((-2)·x + 1)/((-2 + 1)·x + 2·(-2))

y = (2·x - 1)/(x + 4)

LucianoP

(@lucianop)

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11/07/2024 17:02

[Risolto] IPERBOLE

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