[Risolto] Iperbole

IL PROBLEMA #478 RISULTA INDETERMINATO PER CARENZA DI VINCOLI.
Cinque possibili ellissi che soddisfanno ad entrambi gl'insufficienti requisiti sono al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=table%5B%28%28x-k%29%2F%284-k%29%29%5E2%2B%28y%2F%E2%88%9A%287-2*k%29%29%5E2%3D1%2C%7Bk%2C-2%2C2%7D%5D
nei paragrafi "Result" e "Plot of solution set".
------------------------------
MOTIVAZIONE
Il testo del #478 richiede un'ellisse con un F(3, 0) e un V(4, 0); quindi con
* l'asse maggiore di simmetria giacente sull'asse delle ascisse,
* il centro C(k, 0) a sinistra del fuoco (k < 3),
* la semidistanza focale c = √(a^2 - b^2) = 3 - k > 0,
* il semiasse maggiore a = 4 - k > 1,
* il semiasse minore b = √(7 - 2*k) > 0.
L'equazione del fascio d'ellissi risultante ha la forma
* Γ(k) ≡ ((x - k)/(4 - k))^2 + (y/√(7 - 2*k))^2 = 1
------------------------------
Il risultato atteso
* Γ(0) ≡ (x/4)^2 + (y/√7)^2 = 1
è solo una delle infinite ellissi del fascio.
==============================
"... trovare i punti di intersezione con iperbole xy=3 ... come fare?"
Mah, io farei nel modo più banale: per sostituzione.
* (x*y = 3) & ((x/4)^2 + (y/√7)^2 = 1) & (x != 0) & (y != 0) ≡
≡ (y = 3/x) & ((x/4)^2 + ((3/x)/√7)^2 - 1 = 0) & (x != 0) & (y != 0) ≡
≡ ((7*x^4 - 112*x^2 + 144)/(112*x^2) = 0) & (y = 3/x) & (x != 0) ≡
≡ (7*x^4 - 112*x^2 + 144 = 0) & (y = 3/x) & (x != 0) ≡
≡ ((x^2 - (4/7)*(√133 + 14))*(x^2 + (4/7)*(√133 - 14)) = 0) & (y = 3/x) & (x != 0) ≡
≡ ((x^2 - (4/7)*(√133 + 14) = 0) oppure (x^2 + (4/7)*(√133 - 14) = 0)) & (y = 3/x) & (x != 0) ≡
≡ ((x = ± √((4/7)*(√133 + 14))) oppure (x = ± √(- (4/7)*(√133 - 14)))) & (y = 3/x) & (x != 0) ≡
≡ (x ~= ± 3.82) & (y = 3/x) oppure (x ~= ± 1.19) & (y = 3/x)
CONTROPROVA nel paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%28x*y%3D3%29%26%28%28x%2F4%29%5E2%2B%28y%2F%E2%88%9A7%29%5E2%3D1%29