[Risolto] intregrali definiti

"non chiamarmi seccante" disse Don Vito Corleone, il Padrino, mentre enunciava norme di elementare prudenza.
Parimenti ti prego di non chiamarmi seccante tu, mentre ti mostro perché il testo è scritto male dall'autore e ti suggerisco come migliorarne la presentazione da parte tua (servirà per la prossima domanda).
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Alla somministrazione di un farmaco, la massima concentrazione ematica è
* C g/cm^3
all'istante t = 0, per poi calare esponenzialmente con rapidità
* c'(t) = − C*k*e^(− k*t)
dove t è in ore e k, l'inverso della costante di tempo del decadimento esponenziale, dipende sia dal principio attivo che dal metabolismo del paziente.
Si pongono le seguenti consegne.
a1) Scrivere la legge del decadimento esponenziale.
a2) Valutare la concentrazione all'istante t = 30 minuti = 1/2 ora.
a3) Valutare "... di quanto varia la concentrazione ... nei primi 30 minuti dopo ..." l'istante t = 0.
b) Valutare in ore e minuti, al minuto più prossimo (superlativo relativo di un superlativo assoluto!), il tempo di riduzione al 10% (necessario per eliminare il 90%) nel caso che il tempo di dimezzamento sia di quattro ore.
FINE DELLA PARTE SECCANTE
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IL DECADIMENTO ESPONENZIALE
Si dice che la grandezza "a" evolve secondo un decadimento esponenziale se il suo valore all'istante t > 0 vale
* a(t) = A*b^(- t/τ)
con
* A = a(0) != 0, valore iniziale
* b > 0 costante, base dell'esponenziale
* τ > 0 costante, tempo necessario per la riduzione a 1/b
La rapidità di decadimento vale
* da/dt = - A*(ln(b)/τ)*b^(- t/τ) = - (ln(b)/τ)*a(t)
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Caso particolare #1: b = e
* a(t) = A*e^(- t/τ)
* τ si chiama "costante di tempo"
* da/dt = - (1/τ)*a(t)
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Caso particolare #2: b = 2
* a(t) = A*2^(- t/τ)
* τ si chiama "tempo di dimezzamento"
* da/dt = - (ln(2)/τ)*a(t)
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RISOLUZIONE
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a1) Scrivere la legge del decadimento esponenziale.
Dal confronto fra
* c'(t) = − C*k*e^(− k*t)
e
* da/dt = - (1/τ)*a(t)
si ha
* k = 1/τ
* c(t) = C*e^(- k*t)
a2) Valutare la concentrazione all'istante t = 30 minuti = 1/2 ora.
* c(1/2) = C*e^(- k/2)
a3) Valutare "... di quanto varia la concentrazione ..." ...
* (c(0) - c(1/2))/C = 1 - e^(- k/2)
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b) Valutare in ore e minuti il tempo di riduzione al 10% nel caso che il tempo di dimezzamento sia di quattro ore.
* c(t) = C*e^(- k*t) = C*2^(- t/τ)
dove
* τ = ln(2)/k = 4 ≡ k = ln(2)/4
quindi
* c(t) = C*e^(- ln(2)*t/4) = C/10 ≡
≡ t = 4*ln(10)/ln(2) ~= 13.2877 ore =
= 13 ore 17.262 minuti ~=
~= 13 ore 17 minuti

a)

C(t) = - S Co k e^(-kt) dt = Co e^(-kt) + H

per t = 0, Co = H + Co => H = 0

C(t) = Co e^(-kt) con 0 <= t <= 1/2

b) dopo 4 ore la concentrazione é metà di quella massima

dopo T ore é 1/10 ( 1 - il 90%) 

{ Co e^(-4k) = 1/2 Co

{ Co e^(-kT) = 1/10 Co

quindi, passando ai logaritmi, 

{ - 4k = ln 1/2

{ - kT = ln 1/10

oppure 

{ 4 k = ln 2

{ T k = ln 10

dividendo  si ottieneT/4 = ln(10)/ln(2)

ed infine

T = 4 h * ln(10)/ln(2) = 13 h 17 min circa