iNTERPRETARE GRAFICI, DERIVATE

a. 

$  f(x) =ae^{bx} $
i) Passa per T(0, 2) ⇒ a = 2

Determiniamo il valore di b
Equazione retta tangente (eq. segmentaria della retta)
$ \frac{x}{-2}+ \frac{y}{2} = 1 \; ⇒ \; y = x-2 \; ⇒ \; m_t = 1$
La derivata nel punto di tangenza è eguale al coefficiente angolare della tangente
$ f'(x) = 2be^{bx} \; ⇒ \; f'(0) = 2b = 1 \; ⇒ \; b = \frac{1}{2}$

b. Parabola

Determiniamo l'equazione della parabola con vertice in V(1, 1) che passa per O(0,0)
Usiamo l'equazione del fascio Γ: altrimenti detta Vertex form o formula del vertice
$ Γ: y = k(x-x_v)^2 + y_v $
$ Γ: y = k(x-1)^2 + 1 $

La parabola passa per O(0, 0)
$0 = k(-1)^2 + 1 \; ⇒ \; k = -1$

La nostra parabola ha equazione $ y = -x^2+2x$

c. funzione composta

$ h(x) := f(g(x)) = 2e^{\frac{-x^2+2x}{2}} \; h(0) = 2; h(2) = 2$

$ h'(x) = 2e^{\frac{-x^2+2x}{2}} \cdot \frac{1}{2}(-2x+2) $

$ h'(x) = 2e^{\frac{-x^2+2x}{2}} (-x+1) $  

c.1  per x = 0

$h'(0) = 2 \; ⇒ \; m_t = 2 \; ⇒ \; m_n = -\frac{1}{2} $
L'equazione della normale è così
$ y = 2-\frac{1}{2}(x-0) = x+2y = 4 $

c.2  per x = 2

$h'(2) = -2 \; ⇒ \; m_t = -2 \; ⇒ \; m_n = \frac{1}{2} $
L'equazione della normale è così
$ y = 2+\frac{1}{2}(x-2) = x-2y +2 = 0 $