Sia $f(x)$ una funzione dispari e continua in $[-1,1]$. Elisa ha notato che, qualunque sia il metodo (dei rettangoli, dei trapezi o delle parabole) scelto per approssimare l'integrale $\int_{-1}^1 f(x) d x$ e qualunque sia il numero $n$ relativo alla suddivisione dell'intervallo, si ottiene sempre il valore esatto dell'integrale, cioè il numero 0 . Elisa ha ragione? Come lo spieghi?
Spiegare gentilmente i ragionamenti, passaggi e argomentare.
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Livello 2
Sì, è corretto.
Nella formula dei rettangoli abbiamo che:
$I = \displaystyle h\sum_{i=1}^M f(x_i)$
con $x_i$ punto medio dei singoli intervalli.
Essendo $f$ dispari, abbiamo che il valore assunto dalla funzione nei nodi è opposto per nodi equidistanti.
Se ad esempio abbiamo $n=5$ nodi avremo che:
$ f(x_1) = -f(x_5)$
$ f(x_2) = - f(x_4)$
e $f(x_3)=f(0)=0$
dunque generalizzando abbiamo che:
$ f(x_i)= -f(x_{n-i})$
Dunque i nodi si cancellano a due a due (se i nodi sono dispari, un nodo coinciderà sempre con l'origine ed essendo $f$ dispari abbiamo che f(0)=0$.
Dunque nella sommatoria i termini si annullano e l'integrale risulta nullo.
Lo stesso discorso vale nella regola dei trapezi:
$I = \frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{f(x_i)+f(x_{i+1})}{2}$
anche in questo caso i nodi si cancellano a due a due.
Qualche parola in più va spesa nel metodo delle parabole.
Se $n=1$, l'unica parabola che passa per gli estremi (di valore opposto $f(-1)=-f(1)$) e per l'origine è in realtà la retta che passa per gli estremi che ha ovviamente integrale nullo.
Consideriamo una suddivisione dell'intervallo in $2m$ sottointervalli (ti ricordo che il numero di sottointervalli dev'essere pari).
In questo caso avremo una serie di parabole che però saranno sempre opposte da una parte e dall'altra dell'asse, per cui il loro contributo comunque si andrà ad annullare a due a due.
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Livello 6
